Đề thi và Đáp án Olympic Toán 10 Trại hè Hùng Vương 2016

  1. Giải phương trình trên tập số thực $$ 4\sqrt{x+1} + 2\sqrt{2x+3} = (x-1)(x^2 -2 ).$$
  2. Cho tam giác $ABC$ không cân ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Đường tròn $\omega$ tâm $O$ cắt $AI,BI,CI$ lần lượt tại $D,E,F$. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song $BC,CA,AB$ và lần lượt cắt $EF,DF,DE$  tại các điểm $K,L,M$
    a) CMR $AK$ tiếp xúc với $\omega$ và $K,L,M$ thẳng hàng.
    b) Gọi $X$ là giao điểm của $AI$ và $EF$, $Y$ là giao điểm của $BI$ và $DF$, $Z$ là giao điểm của $CI$ và $DE$. Lấy $P$ bất kì trên $BC ( P \neq B,C, P $ không thuộc $AI$ ). CMR đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDX,PEY,PFZ$ cùng đi qua điểm $Q \neq P$
  3. Cho $a,b,c$ là các số thực thoả $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0 $. CMR $$\sum \left(\frac{a}{a+b}\right)^2 + \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \sum \frac{a}{a+b} - \frac{1}{4}. $$
  4. Cho bảng ô vuông kích thước $10x10$ được chia đều thành $100$ ô vuông, mỗi ô vuông cạnh $1$. Ban đầu người ta tô màu đen cho $k$ ô vuông nào đó trên bảng. Sau đó, nếu ô vuông nào chưa bị tô đen mà nằm cạnh ( có cạnh chung ) với ít nhất 2 ô vuông đen đã tô thì lập tức ô này cũng bị đen. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $k$ để tới một lúc nào đó, tất cả các ô trên bảng đều bị tô đen
  5. Tìm các số $p,n $ thoả $p$ nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho $$p^3 -2p^2 + p +1= 3^n. $$


0 comments:

Post a Comment

APMO (13) Balkan MO (10) Bất Đẳng Thức (31) Benelux (8) BoxMath (2) Brazil (2) Bulgaria (3) BWC (27) BxMO (8) Canada (13) Chuyên Đề (36) Collection (4) Correspondence (1) CPS (3) Crux (2) Đại số (2) Đặng Việt Đông (1) Đề Thi (24) E-Book (13) EGMO (6) ELMO (8) EMC (5) Finland (4) G. Polya (3) Gặp Gỡ Toán Học (3) Geometry (4) Hình Học (10) HKUST (1) Học Sinh Giỏi (6) HongKong (1) Hứa Lâm Phong (1) Hùng Vương (7) IMC (22) IMO (31) India (18) Inequality (6) International (137) Iran (2) JBMO (6) JBMO TST (7) Journal (8) K2pi (1) Kể chuyện Toán học (2) Kvant (1) Kỷ yếu (3) Lê Phúc Lữ (1) Lớp 10 (4) Lượng giác (1) Mark Levi (1) Mathscope (8) MEMO (5) MO 1969 (1) MO 1970 (1) MO 1971 (1) MO 1972 (1) MO 1973 (1) MO 1974 (1) MO 1975 (1) MO 1976 (1) MO 1977 (1) MO 1978 (1) MO 1979 (1) MO 1980 (1) MO 1990 (1) MO 1991 (1) MO 1992 (1) MO 1993 (1) MO 1994 (2) MO 1995 (3) MO 1996 (3) MO 1997 (5) MO 1998 (5) MO 1999 (5) MO 2000 (5) MO 2001 (8) MO 2002 (7) MO 2003 (6) MO 2004 (6) MO 2005 (8) MO 2006 (8) MO 2007 (9) MO 2008 (11) MO 2009 (11) MO 2010 (15) MO 2011 (14) MO 2012 (20) MO 2013 (18) MO 2014 (15) MO 2015 (14) MO 2016 (20) MO 2017 (8) Moscow (1) MYM (28) National (82) Nesbitt (1) Nguyễn Anh Tuyến (1) Nguyễn Duy Khương (1) Nguyễn Duy Tùng (1) Nguyễn Hữu Điển (1) Nguyễn Mình Hà (1) Nguyễn Phú Khánh (1) Nguyễn Thúc Vũ Hoàng (1) Nguyễn Văn Mậu (3) Nhóm Toán (3) Olympiad Corner (1) Olympiad Preliminary (2) Olympic Toán (9) PAMO (1) Phạm Đức Tài (1) Pham Kim Hung (2) Phạm Quốc Sang (1) Philippines (4) Phương trình hàm (2) Problems (1) PT-HPT (4) PTNK (1) Putnam (16) RMM (9) Romania (7) Russia (1) Sách Thường Thức Toán (4) Sách Toán (28) Serbia (13) Sharygin (7) Shortlists (31) Số học (2) Talent Search (1) Tạp chí (8) THPTQG (7) THTT (5) Titu Andreescu (2) Tổ hợp (4) Toán 10 (5) Toán Chuyên (3) Toán Quốc Gia (1) Toán Quốc tế (3) Toán Tuổi Thơ (1) TOT (1) Trắc Nghiệm (1) Trại hè (10) Trại hè phương Nam (3) Trần Nam Dũng (1) Trần Phương (1) Trần Quang Hùng (1) Trần Quốc Anh (1) TST (8) Tuyển sinh (6) Tuyển Tập (10) Tuymaada (1) Undergraduate (42) Updated (12) USA (12) Vasile Cîrtoaje (3) Vietnam (1) Viktor Prasolov (1) VIMF (1) VirginiaTech (1) VMEO (1) VMF (3) VMO (8) Võ Quốc Bá Cẩn (11) Vojtěch (1) Zhou Yuan Zhe (1)