Võ Quốc Bá Cẩn - Kỹ thuật thêm tách bớt trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Hôm thứ hai, ngày 25/10/2009, đang học thì thầy Nam Dũng gọi cho tôi, thầy bảo tôi soạn một bài về bất đẳng thức để chủ nhật lên giảng ở câu lạc bộ toán học. Soạn một bài để giảng thì không khó nhưng soạn làm sao để học sinh nắm bắt được điều mình muốn nói thì quả thật không dễ chút nào, tôi đã phải mất mấy ngày để nghĩ về vấn đề này. Tôi nghĩ, ở câu lạc bộ, các bạn học sinh đã được các thầy dạy cho rất nhiều phương pháp rồi, chẳng lẽ giờ mình lại lên giảng về các phương pháp đó nữa, SOS, hay dồn biến, hay EV, . . . Đó chính là vấn đề khiến tôi đau đầu. Sau mấy ngày suy nghĩ, tôi quyết định soạn một bài về bất đẳng thức kinh điển. Lí do là gì thì tôi nghĩ các bạn cũng hiểu, các phương pháp SOS, dồn biến, . . . có tính thiết thực cao trong giải toán nhưng nếu ta cứ dùng chúng để giải trong thi học sinh giỏi thì thật không hay. Thi học sinh giỏi là để chọn những người có sáng tạo chứ không phải để chọn những người giỏi “dao búa”. Vấn đề này xin không bàn nhiều ở đây.

Về bất đẳng thức kinh điển, chúng ta đã biết rất nhiều bất đẳng thức loại này như: AM-GM, Cauchy-Schwarz, Chebyshev, . . . Mỗi loại trong chúng đều có những kỹ thuật sử dụng riêng, đòi hỏi phải có sự tư duy tốt. Nếu có thể, tôi sẽ cố gắng giới thiệu hết các kỹ thuật này vào những dịp khác. Còn trong bài này, tôi xin được giới thiệu một kỹ thuật mà tôi vẫn hay dùng - “Kỹ thuật thêm - tách - bớt” trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. 

Trước hết xin được nhắc lại về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, nó được phát biểu như sau: Với hai bộ số thực bất kì $a_1, a_2, . . . , a_n$ và $b_1, b_2, . . . , b_n$, ta có $$(a_1^2+\ldots +a_n^2))+(b_1^2+\ldots+b_n^2)\geq (a_1 b_1 +\ldots +a_n b_n).$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_i b_j = a_j b_i$ với mọi $i \ne j$.
Ta có một dạng khác của bất đẳng thức này rất hay được sử dụng, nó được phát biểu như sau: Với hai bộ số thực bất kì $a_1, a_2, . . . , a_n$ và $b_1, b_2, . . . , b_n$ thỏa mãn $b_i$ dương, ta có $$\frac{a_1^2}{b_1}+\ldots+\frac{a_n^2}{b_n}\geq\frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{b_1+\ldots+b_n}.$$ Đẳng thức cũng xảy ra khi và chỉ khi $a_i b_j = a_j b_i$ với mọi $i\ne j$. (Lưu ý là để sử dụng tốt dạng này, các bạn cần có cái nhìn “hai chiều”)

0 comments:

Post a Comment

APMO (13) Balkan MO (10) Bất Đẳng Thức (31) Benelux (8) BoxMath (2) Brazil (2) Bulgaria (3) BWC (27) BxMO (8) Canada (13) Chuyên Đề (36) Collection (4) Correspondence (1) CPS (3) Crux (2) Đại số (2) Đặng Việt Đông (1) Đề Thi (24) E-Book (13) EGMO (6) ELMO (8) EMC (5) Finland (4) G. Polya (3) Gặp Gỡ Toán Học (3) Geometry (4) Hình Học (10) HKUST (1) Học Sinh Giỏi (6) HongKong (1) Hứa Lâm Phong (1) Hùng Vương (7) IMC (22) IMO (31) India (18) Inequality (6) International (137) Iran (2) JBMO (6) JBMO TST (7) Journal (8) K2pi (1) Kể chuyện Toán học (2) Kvant (1) Kỷ yếu (3) Lê Phúc Lữ (1) Lớp 10 (4) Lượng giác (1) Mark Levi (1) Mathscope (8) MEMO (5) MO 1969 (1) MO 1970 (1) MO 1971 (1) MO 1972 (1) MO 1973 (1) MO 1974 (1) MO 1975 (1) MO 1976 (1) MO 1977 (1) MO 1978 (1) MO 1979 (1) MO 1980 (1) MO 1990 (1) MO 1991 (1) MO 1992 (1) MO 1993 (1) MO 1994 (2) MO 1995 (3) MO 1996 (3) MO 1997 (5) MO 1998 (5) MO 1999 (5) MO 2000 (5) MO 2001 (8) MO 2002 (7) MO 2003 (6) MO 2004 (6) MO 2005 (8) MO 2006 (8) MO 2007 (9) MO 2008 (11) MO 2009 (11) MO 2010 (15) MO 2011 (14) MO 2012 (20) MO 2013 (18) MO 2014 (15) MO 2015 (14) MO 2016 (20) MO 2017 (8) Moscow (1) MYM (28) National (82) Nesbitt (1) Nguyễn Anh Tuyến (1) Nguyễn Duy Khương (1) Nguyễn Duy Tùng (1) Nguyễn Hữu Điển (1) Nguyễn Mình Hà (1) Nguyễn Phú Khánh (1) Nguyễn Thúc Vũ Hoàng (1) Nguyễn Văn Mậu (3) Nhóm Toán (3) Olympiad Corner (1) Olympiad Preliminary (2) Olympic Toán (9) PAMO (1) Phạm Đức Tài (1) Pham Kim Hung (2) Phạm Quốc Sang (1) Philippines (4) Phương trình hàm (2) Problems (1) PT-HPT (4) PTNK (1) Putnam (16) RMM (9) Romania (7) Russia (1) Sách Thường Thức Toán (4) Sách Toán (28) Serbia (13) Sharygin (7) Shortlists (31) Số học (2) Talent Search (1) Tạp chí (8) THPTQG (7) THTT (5) Titu Andreescu (2) Tổ hợp (4) Toán 10 (5) Toán Chuyên (3) Toán Quốc Gia (1) Toán Quốc tế (3) Toán Tuổi Thơ (1) TOT (1) Trắc Nghiệm (1) Trại hè (10) Trại hè phương Nam (3) Trần Nam Dũng (1) Trần Phương (1) Trần Quang Hùng (1) Trần Quốc Anh (1) TST (8) Tuyển sinh (6) Tuyển Tập (10) Tuymaada (1) Undergraduate (42) Updated (12) USA (12) Vasile Cîrtoaje (3) Vietnam (1) Viktor Prasolov (1) VIMF (1) VirginiaTech (1) VMEO (1) VMF (3) VMO (8) Võ Quốc Bá Cẩn (11) Vojtěch (1) Zhou Yuan Zhe (1)