Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan

Báo Toán Học và Tuổi Trẻ (TH&TT) ra số đầu tiên từ tháng 10 năm 1964. Từ đó cho tới nay, báo TH&TT với biết bao bài toàn với cách giải thông minh luôn được các bạn học sinh giỏi toán THCS THPT, các thầy cô giáo chào đón nồng nhiệt.

MOlympiad tổng hợp và chia sẻ đến các bạn toàn bộ các số báo TH&TT từ năm 1978 cho đến nay, và sẽ tiếp tục cập nhật các số báo TH&TT mới nhất để bạn đọc tham khảo!. Bạn không cần phải download các số báo TH&TT (tổng dung lượng các tập tin lên đến hàng chục GB), bạn chỉ cần đăng nhập vào tài khoản Google để lưu (save) vào tài khoản của bạn là bạn đã có thể đọc và tra cứu lúc cần thiết.



Tại đây bạn cũng tìm thấy 15 số báo đặc san đặc biệt của báo Toán Học Tuổi Trẻ từ năm 2011 đến năm 2014, hai cuốn Tuyển tập 5 nămTuyển tập 30 năm,  Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và Tuổi trẻ, và Các bài toán chọn lọc 45 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ các cuốn sách này tuyển chọn các bài viết chuyên đề thú vị, các bài toán hay trên tạp chí.
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)).$$
  2. Cho tam giác $ ABC $, lấy điểm $ A_1 $ nằm trên cạnh $ BC $ và điểm $ B_1 $ nằm trên cạnh $ AC $. Lấy $ P $ và $ Q $ lần lượt là các điểm trên các đoạn $ AA_1 $ và $ BB_1 $, sao cho $ PQ $ song song với $ AB $. Lấy $ P_1 $ là một điểm trên đường $ PB_1 $, sao cho $ B_1 $ nằm giữa $ P $ và $ P_1 $ và $ \angle PP_1C = \angle BAC $. Tương tự, Lấy $ Q_1 $ là điểm trên đường $ QA_1 $, sao cho $ A_1 $ nằm giữa $ Q $ và $ Q_1 $ và $ \angle CQ_1Q = \angle CBA $. Chứng minh rằng các điểm $ P, Q, P_1 $ và $ Q_1 $ cùng nằm trên một đường tròn.
  3. Một mạng xã hội có $ 2019 $ người dùng với một số cặp là bạn bè. Nếu người dùng $ A $ là bạn bè với người dùng $ B $ thì người dùng $ B $ cũng là bạn bè với người dùng $ A $. Các sự kiện thuộc loại sau đây có thể xảy ra lặp đi lặp lại, từng lần một: Ba người dùng $ A $, $ B $ và $ C $ sao cho $ A $ là bạn bè với cả $ B $ và $ C $, nhưng $ B $ và $ C $ không phải là bạn bè, hãy thay đổi trạng thái tình bạn của họ sao cho $ B $ và $ C $ là bạn bè, nhưng $ A $ không còn là bạn với $ B $ và không còn là bạn với $ C $. Tất cả các trạng thái tình bạn khác là không thay đổi. Ban đầu, có $ 1010 $ người dùng mà mỗi người dùng có đúng $ 1009 $ bạn và $ 1009 $ người dùng còn lại mà mỗi người có đúng $ 1010 $ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một chuỗi các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn với nhiều nhất một người dùng khác.
  4. Tìm các số nguyên dương $k$ và $n$ sao cho \[k! = \left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^n} - 2} \right) \ldots \left( {{2^n} - {2^{n - 1}}} \right).\]
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. Cho số nguyên dương $m$. Chứng minh rằng $$\left| \sum_{n=1}^{m}\frac{\mu(n)}{n} \right| \le 1.$$
  2. Cho số nguyên tố lẻ $p$. Chứng minh rằng nếu $g_{1}, \cdots, g_{\varphi(p-1)}$ là các căn nguyên thủy $\pmod{p}$ thì $$\sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}g_{i}\equiv \mu(p-1) \pmod{p}.$$
  3. Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $$\sum_{d|n} a_d = 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*.$$ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, ta có $n|a_n$.
  4. Cho số nguyên dương $m$. Xét dãy số $a_1, a_2, a_3, \ldots$ xác định bởi $a_1 = 1$ và với mỗi $n > 1$, $$a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} a_{\lfloor n/3 \rfloor} \ldots a_{\lfloor n/n \rfloor} 1.$$ Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $$a_n \equiv n \pmod{2^{m}}.$$
  5. Cho $a_1,a_2,...$ là một dãy các số nguyên dương thỏa mãn $(a_m,a_n)=a_{(m,n)}$ với mỗi hai số nguyên dương $m,n$. Chứng minh rằng tồn tại dãy các số nguyên dương $b_1,b_2,...$ sao cho $a_n=\prod_{d|n}{b_d}$ với mọi $n\ge 1$.
  6. Với mỗi số nguyên $n\ge 3$, gọi $\phi_n$ là tập tất cả các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Xét các đa thức $$P_n(x)=\sum_{k\in\phi_n} {x^{k-1}},\quad n=3,4,5,...$$ a) Chứng minh $P_n(x)=(x^{r_n} 1)Q_n(x)$ với một số nguyên dương $r_n$ và một đa thức $Q_n(x)\in\mathbb{Z}[x]$ nào đó
    b) Tìm tất cả $n\ge 3$ sao cho $P_n(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.
  7. Cho số nguyên dương $n$. Giả sử có đúng $M$ số square-free $k$ sao cho $\left\lfloor\frac nk\right\rfloor$ là lẻ trong $\{ 1, 2,\ldots, n\}$. Chứng minh rằng $M$ là lẻ.
  8. Cho $P(x)$ là một đa thức khác hằng với hệ số nguyên. Chứng minh rằng không có hàm $T:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho số các số nguyên $x$ thỏa mãn $T^n(x)=x$ bằng $P(n)$ với mỗi số nguyên dương $n$.
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. a) Tìm các tham số thực $m$ để phương trình $$x^2 + (3m-4)x + 2m^2-4m=0$$ có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn $9$.
    b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2 + y^2 -xy &= 9 \\ x^4+y^4&=162 \end{cases}.$$ c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử $$x^4-8x^3+26x^2-39x+24.$$
  2. a) Cho $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $$x^2-2702x+1=0.$$ Tính giá tri biểu thức $$M=\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt[3]{x_2}.$$ b) Rút gọn biểu thức $$P=\frac{a\sqrt{a}-8}{a-4}-\frac{2a\sqrt{a}+6a+7\sqrt{a}+6}{a+4\sqrt{a}+4}$$ với $a\le 0$ và $a\ne 4$. Tìm các số tự nhiên $a$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
    c) Giải phương trình $$x^3 = 6(\sqrt[3]{6x-9})-9.$$
  3. a) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3+2019n$ là số chính phương.
    b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2+8&=xy^2+2x \\ y^2+8 & = x^2y+2y \end{cases}.$$
  4. a) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge 2\left( \frac{a}{c} +\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right) -3.$$ b) Cho $10$ điểm phân biệt nằm bên trong một hình chữ nhật có hai cạnh bằng $18a$ và $24a$ ($a$ là số thực dương). Chứng minh rằng trong $10$ điểm đã cho có không ít hơn hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $10a$.
  5. Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$, đường cao $AH$, ba góc đều nhọn. $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, đường kính $AK$; $(I)$ là đường tròn nội tiếp, tiếp xúc $BC$ tại $D$. $P$, $T$, $F$ là giao điểm với $(O)$ của $AI$, $KI$, $AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $AF$, $BK$. $Q$ là hình chiếu của $E$ lên $AK$.
    a) Chứng minh $A$, $B$, $E$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm nội tiếp của $BFQ$.
    b) Tìm tâm ngoại tiếp của $IBC$. Chứng minh $PB=PJ$, $J$ là tâm bàng tiếp trong góc $A$.
    c) Chứng minh rằng $P$, $D$, $T $ thẳng hàng.
  6. Có bao nhiêu cách sắp $6$ cuốn sách phân biệt vào $3$ ngăn tủ phân biệt sao cho mỗi ngăn có ít nhất một cuốn? (không kể thứ tự các cuốn trong ngăn sách)
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Gọi $X$ là điểm sao cho $AX$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ký hiệu $\omega_B$ là đường tròn qua $M$, $B$ và tiếp xúc với $MX$, $\omega_C$ là đường tròn qua $N$, $C$ và tiếp xúc với $NX$. Chứng minh rằng $\omega_B$ và $\omega_C$ cắt nhau trên $BC$.
  2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại một song ánh $g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ để $101$ hàm $$g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x$$ là song ánh trên $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
  3. Một con rắn độ dài $k$ là một động vật nằm ở bộ $(s_1, \dots, s_k)$ gồm $k$ ô vuông con của bảng $n \times n$ các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời $s_i$ và $s_{i+1}$ có chung cạnh với mọi $i = 1, \dots, k-1$. Nếu con rắn nằm ở $(s_1, \dots, s_k)$ và $s$ là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với $s_1$, thì nó có thể di chuyển đến $(s, s_1, \dots, s_{k-1})$. Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí $(s_1, s_2, \dots, s_k)$ và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí $(s_k, s_{k-1}, \dots, s_1)$. Tồn tại hay không số nguyên $n > 1$ có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài $0.9n^2$ trong một bảng $n \times n$ sao cho nó có thể quay đầu.
  4. Ta nói $f: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{Z}_{\ge 0} \to \mathbb{Z}$ là lớn nếu với mỗi số tự nhiên $m$ và $n$, $$f(m + 1, n + 1) f(m, n) - f(m + 1, n) f(m, n + 1) = 1.$$ Nếu $A = (a_0, a_1, \dots)$ và $B = (b_0, b_1, \dots)$ là hai dãy các số nguyên, ta viết $A \sim B$ nếu tồn tại hàm lớn $f$ thỏa mãn $f(n, 0) = a_n$ và $f(0, n) = b_n$ với mỗi số tự nhiên $n$. Chứng minh rằng nếu $A$, $B$, $C$, và $D$ là bốn dãy thỏa mãn $A \sim B$, $B \sim C$, và $C \sim D$, thì $D \sim A$.
  5. Cho $n$ là một số nguyên dương. Tasty và Stacy được tặng một cái vòng với $3n$ viên sapphire và $3n$ viên lam ngọc sao cho không có ba viên liên tiếp cùng màu. Họ cùng nhau chơi một trò chơi lần lượt loại đi ba viên liên tiếp, theo các điều kiện sau
    • Tasty phải loại ba viên liên tiếp theo thứ tự lam ngọc, sapphire, lam ngọc ở mỗi lần chơi của mình.
    • Stacy phải loại ba viên liên tiếp theo thứ tự sapphire, lam ngọc, sapphire ở mỗi lần chơi của mình. Họ thắng nếu loại bỏ được tất cả các viên đá sau $2n$ lượt chơi.
    Chứng minh rằng nếu họ có thể thắng khi Tasty đi trước thì họ cũng có thể thắng khi Stacy đi trước.
  6. Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp $I$, và $D$ là điểm trên đường thẳng $BC$ thỏa mãn $\angle AID=90^{\circ}$. Đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $A_1$. Xác định các điểm $B_1$, $C_1$ tương tự. Chứng minh rằng nếu $AB_1A_1C_1$ nội tiếp thì $AD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $DB_1C_1$.
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. a) Cho $x = \sqrt[3]{2+2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}- 1$. Tìm giá trị của biểu thức $$P = x^3(x^2 + 3x + 9)^3.$$ b) Giải phương trình $$x^2+ 6x + 5 = \sqrt{x+7}.$$ c) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} (3x-y-1)\sqrt{y+1}+3x-1&=y\sqrt{3x-y} \\ x^2+y^2& =5\end{cases}.$$
  2. a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P): y = 2x^2$ và đường thẳng $d_1: y = \dfrac{1}{4}x$. Viết phương trình của đường thẳng $d_2$, biết $d_2$ giao $d_1$ và $d_2$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $\sqrt{5}AB = \sqrt{17}OI$ với $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.
    b) Cho phương trình tham số $m$ sau $$x^2+ 5x + 4 – 9m = 0.$$ Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $$x_1(x_1^2 - 1) - x_2(8x_2^2+1)=5.$$ c) Cho hai số dương $x$, $y$ thỏa mãn $$2(x^3 + y^3) + 6xy(x + y - 2) = (x + y)^2(xy + 4).$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T = \frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1\right).$$
  3. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $$(2x + 5y + 1)(2^{|x|-1} + y + x^2 + x) = 65$$
  4. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $AB$, vẽ các tiếp tuyến $Ax$, $By$ của $(O)$. Trên $(O)$, lấy điểm $C$ $(CA < CB)$ và trên đoạn thẳng $OA$ lấy điểm $D$ ($D$ khác $O$, $A$). Đường thẳng vuông góc với $CD$ tại $C$ cắt $Ax$, $By$ lần lượt tại $E$, $F$. $AC$ cắt $DE$ tại $G$, $BC$ cắt $DF$ tại $H$, $OC$ cắt $GH$ tại $I$.
    a) Chứng minh rằng hai tam giác $AGE$, $FHC$ đồng dạng và $I$ là trung điểm của $GH$.
    b) Gọi $J$, $K$ lần lượt là trung điểm của $DE$, $DF$. Chứng minh $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.
    c) Gọi $M$ là giao điểm của $JO$ và $DK$. Chứng minh rằng $DJOK$ vuông và ba đường thẳng $DE$, $IM$, $KO$ đồng quy.
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. Cho hàm số $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ thỏa mãn $$\underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)}(n)\ldots))=\frac{n^2}{f(f(n))},\,\forall n\in\mathbb{N}^*.$$ Tính $f(1000)$.
  2. Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ thỏa mãn $AD^2 + BC^2 = AB^2$. Các đường chéo của $ABCD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $P$ là một điểm trên cạnh $AB$ thỏa mãn $\angle APD = \angle BPC$. Chứng minh $PE$ chia đôi $CD$.
  3. Cho $K$ là tập tất cả các số nguyên dương không chứa chữ số $7$ trong biểu diễn thập phân của nó. Tìm tất cả các đa thức $f$ với hệ số nguyên sao cho $f(n)\in K$ mỗi khi $n\in K$.
  4. Cho số tự nhiên $n$. Có bao nhiêu cách chọn $(n+1)^2$ tập hợp $S_{i,j}\subseteq\{1,2,\ldots,2n\}$, với $0\leq i,j\leq n$, sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời
    • Với mỗi $0\leq i,j\leq n$, $S_{i,j}$ có $i+j$ phần tử;
    • $S_{i,j}\subseteq S_{k,l}$ mỗi khi $0\leq i\leq k\leq n$ và $0\leq j\leq l\leq n$.
  5. Hai số hữu tỷ $\dfrac{m}{n}$ và $\dfrac{n}{m}$ được viết trên bảng, ở đây $m$ và $n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Ở mỗi thời điểm, Evan có thể chọn hai số $x$ và $y$ viết trên bảng và viết lên bảng số $\dfrac{x+y}{2}$ hoặc $\dfrac{2xy}{x+y}$. Tìm tất cả cặp $(m,n)$ sao cho Evan có thể viết số $1$ lên bảng sau hữu hạn bước.
  6. Tìm tất cả các đa thức $P$ với hệ số thực sao cho $$\frac{P(x)}{yz}+\frac{P(y)}{zx}+\frac{P(z)}{xy}=P(x-y)+P(y-z)+P(z-x)$$ với mọi số thực $x,y,z$ khác $0$ thỏa mãn $2xyz=x+y+z$.
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. Cho hàm số $f:\;\mathbb R\to\mathbb R^+$ liên tục và thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0.\] a) Chứng minh rằng tồn tại giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.
    b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left(y_n\right)$ sao cho $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} y_n$ và \[{x_n} < {y_n},\, f\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{y_n}} \right),\, \forall n\in\mathbb N.\]
  2. Xét dãy số nguyên $\left( {{x_n}} \right)$ thỏa $0\le x_0<x_1\le 100$ và \[{x_{n + 2}} = 7{x_{n+1}} - {x_n} + 280,\,\forall n \in \mathbb N.\] a) Chứng minh rằng nếu $x_0=2$, $x_1=3$ thì tổng các ước số dương của $$x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n+3}+2018$$ là bội số của $24$.
    b) Tìm các cặp $\left(x_0,x_1\right)$ sao cho $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$. 
  3. Với mỗi đa thức $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$, đặt $$\Gamma( f(x))=a_0^2+a_1^2+...+a_n^2.$$ Cho $P(x)=(x+1)(x+2)...(x+2020)$. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $2^{2019}$ đa thức đôi một khác nhau $Q_k(x)$ $(1\leq k \leq 2^{2019})$ với hệ số là các số thực dương sao cho $\deg Q_k(x)=2020$ và $\Gamma(Q_k(x)^n)=\Gamma(P(x)^n)$ với mọi số nguyên dương $n$. 
  4. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$, trên các tia $AB$, $AC$, $BC$, $BA$, $CA$, $CB$ lần lượt lấy các điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ sao cho $AA_1=AA_2=BC$, $BB_1=BB_2=AC$, $CC_1=CC_2=AB$. Các cặp đường thẳng $\left(B_1B_2, C_1C_2 \right)$, $\left( C_1C_2, A_1A_2 \right)$, $\left( B_1B_2, A_1A_2 \right)$ lần lượt có giao điểm là $A'$, $B'$, $C'$.
    a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ không vượt quá diện tích tam giác $ABC$.
    b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$. Các đường thẳng $AJ$, $BJ$, $CJ$ lần lượt cắt các đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$ tại $R$, $S$, $T$ tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AST$, $BTR$, $CRS$ cùng đi qua một điểm $K$. Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ không cân thì $IHJK$ là hình bình hành. 
  5. Xét đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$ $(\alpha\in\mathbb{R})$.
    a) Khi $\alpha = \dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
    b) Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để $f(x)$ viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
  6. Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $(H)$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ và $D$, $E$, $F$ lần lượt là chân các đường cao tương ứng với các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$. Hai đường thẳng $DE$ và $MP$ cắt nhau tại $X$; hai đường thẳng $DF$ và $MN$ cắt nhau tại $Y$.
    a) Đường thẳng $XY$ cắt cung nhỏ $BC$ của $(O)$ tại $Z$. Chứng minh rằng bốn điểm $K$, $Z$, $E$, $F$ đồng viên.
    b) Hai đường thẳng $KE$, $KF$ lần lượt cắt $(O)$ tại các điểm thứ hai là $S$ và $T$ (khác $K$). Chứng minh rằng các đường thẳng $BS$, $CT$ và $XY$ đồng quy.
  7. Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành $5\times 5$ ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng $n$ màu đẻ tô cho các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh giấy được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minhh rằng không có quá $\dfrac{1}{8}\left( {{n^{25}} + 4{n^{15}} + {n^{13}} + 2{n^7}} \right)$ mảnh giấy đôi một không giống nhau.
  1. Do $f(0)>0$ và giả thiết về giới hạn ở hai đầu vô cực, nên tồn tại $m>0$ sao cho $f(x)\le f(0)$ với mỗi $x$ không ở trong đoạn $D=[-m, \,m]$. Vì hàm liên tục nên trên đoạn đóng $D$, nên hàm đạt gía trị lớn nhất là $M$ nào đó.
    • Nếu $M\ge f(0)$, thì $M\ge f(x)$ với mọi $x$, và có $M$ là giá trị lớn nhất trên $\mathbb R$ của $f(x)$.
    • Nếu $M<f(0)$, thì $f(0)$ là giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.
    Bây giờ, giả sử $M=f(a)$, để ý là theo định lý Bolzano-Cauchy thì với mỗi số nguyên dương $n$ sẽ tồn tại $x_n\in (-\infty;\,a)$ và $y_n\in (a,\,+\infty)$ sao cho\[f\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{y_n}} \right) = M\left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right).\] Ta có thể xây dựng $\left(x_n\right)$ tăng, còn $\left(y_n\right)$ giảm và cùng tụ về $a$.
  2. Ta có các đồng dư sau với mỗi số tự nhiên $n$\[\begin{array}{l}{x_{n + 2}} \equiv – \left( {{x_{n + 1}} + {x_n}} \right) \pmod 8,\\{x_{n + 2}} \equiv {x_{n + 1}} – {x_n} + 1 \pmod 3.\end{array}\] Từ đây, khảo sát số dư của dãy khi chia $8$ và chia $3$, qua phép truy toán ta được $x_n$ chia cho $3$ dư $2$ nếu $n$ chẵn và $x_n$ chia $3$ dư $0$ nếu $n$ lẻ. Đồng thời, $x_n$ chia cho $8$ dư $2$ nếu $3\mid n$, và khi $3\nmid n$ thì $x_n$ chia $8$ dư $2$. Cho nên có\[\begin{array}{l}{M_n} &= {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_{n + 2}} + {x_{n + 2}}{x_{n + 3}} + 2018\\&\equiv {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_n} + {x_n}{x_{n + 1}} + 2018\\&\equiv – 1 \pmod 3.\end{array}\] Trong ba số nguyên liên tiếp, sẽ có duy nhất một số chia hết cho $3$, nên\[\begin{array}{l}{M_n} &= {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_{n + 2}} + {x_{n + 2}}{x_{n + 3}} + 2018\\& \equiv {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_n} + {x_{n + 2}}{x_n} + 2018\\&\equiv 2\times 3+3\times 3+3\times 2+2018\\& \equiv – 1 \pmod 8.\end{array}\] Tổng hợp lại ta sẽ có\[{M_n} = {x_n}{x_{n + 1}} + {x_{n + 1}}{x_{n + 2}} + {x_{n + 2}}{x_{n + 3}} + 2018 \equiv – 1 \pmod{24}.\] Do $M_n\equiv -1\pmod 3$, nên $M_n$ không thể là số chính phương, và ta viết tổng các ước số dương của $M_n$ thành \[\sigma = \sum\limits_{d} {\left( {d + \frac{{{M_n}}}{d}} \right)} .\] Trong đó, $d$ chạy khắp các ước dương của $M_n$ nhỏ hơn $\sqrt{M_n}$. Để ý là nếu $d\mid M_n$ thì $d$ lẻ và $3\nmid d$, cho nên từ $M_n\equiv -1\pmod{24}$ có \[\begin{array}{l} d + \dfrac{{{M_n}}}{d} = \dfrac{{{d^2} + {M_n}}}{d} \equiv 0 \pmod 3,\\d + \dfrac{{{M_n}}}{d} = \dfrac{{{d^2} + {M_n}}}{d} \equiv 0 \pmod 8.\end{array}\] Từ đó lấy tổng lại là có $$24\mid\sigma .$$ b) Giả sử $x_0$, $x_1$ là các số thỏa yêu cầu, ta có đẳng thức sau\[{x_{n + 3}} – 7{x_{n + 2}} + {x_{n + 1}} = {x_{n + 2}} – 7{x_{n + 1}} + {x_n},\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Từ đó, nếu với mỗi $n\in\mathbb N$ đặt $x_{n+2}-9x_{x_n+1}-x_n=a_n$, thế thì có\[{a_{n + 1}} = – {a_n} – 18{x_{n + 1}},\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Bình phương hai vế ta có\[\begin{array}{l}a_{n + 1}^2 – 36{x_{n + 2}}{x_{n + 1}} &= a_n^2 + 36{a_n}{x_{n + 1}} + {18^2}x_{n + 1}^2 – 36{x_{n + 2}}{x_{n + 1}}\\&= a_n^2 + 36\left( {{x_{n + 2}} – 9{x_{n + 1}} – {x_n}} \right)x_{n+1} + {18^2}x_{n + 1}^2 – 36{x_{n + 2}}{x_{n + 1}}\\&= a_n^2 – 36{x_{n + 1}}{x_n}.\end{array}\]Như vậy, $a_n^2-36x_{n+1}x_n$ là dãy hằng, và ta có\[\begin{array}{l}a_n^2 – 36{x_{n + 1}}{x_n} &= {a_0}^2 – 36{x_1}{x_0}\\&= {\left( {{x_2} – 9{x_1} – {x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}\\&= {\left( {7{x_1} – {x_0} – 9{x_1} – {x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}\\&= {\left( {280 – 2{x_1} – 2{x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}.\end{array}\] Từ đó mà có được\[36\left( {{x_n}{x_{n + 1}} + 2019} \right) = a_n^2 – D.\]Trong đó, $D= {\left( {280 – 2{x_1} – 2{x_0}} \right)^2} – 36{x_1}{x_0}-36\times 2019$, đó là một hằng số và nếu ta kết hợp với việc $\lim x_nx_{n+1}=+\infty$ kéo theo $\lim \left| {{a_n}} \right|=+\infty$ thế thì với $n$ đủ lớn, sẽ xảy ra bất đẳng thức $$2\left| {{a_n}} \right| + 1 > – D > – 2\left| {{a_n}} \right| + 1,$$ nó dẫn đến\[{\left( {\left| {{a_n}} \right| + 1} \right)^2} > a_n^2 – D > {\left( {\left| {{a_n}} \right| – 1} \right)^2}.\]Vì $a_n^2 – D$ là số chính phương với $n$ lớn thỏa thích, thế nên $D=0$, tức là có\[{\left( {140 – {x_1} – {x_0}} \right)^2} = 9\left( {2019 + {x_1}{x_0}} \right).\]Giờ để ý $0\le x_0<x_1\le 100$, để có đánh giá sau\[2019 + {x_0}{x_1} = \frac{{{{\left( {140 – {x_1} – {x_0}} \right)}^2}}}{9} < 2178.\]Do $2019 + {x_0}{x_1}$ là số chính phương nằm giữa $2019$ và $2178$, nên có hai khả năng sau.
    • Nếu $2019 + {x_0}{x_1}=46^2$, khi đó $x_0x_1=97$ và $x_0+x_1=2$, nên không xảy ra tình huống này.
    • Nếu $2019 + {x_0}{x_1}=45^2$, khi đó $x_0x_1=6$ và $x_0+x_1=5$. Từ đây, $x_0=2$ và $x_1=3$.
    Vậy, tất cả các cặp cần tìm là \[\left( {{x_0},{\mkern 1mu} {x_1}} \right) = \left( {2,\,3} \right).\]
  3. Trước hết ta có các tính chất sau
    • Cho $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ và $a,b$ là các số thực dương. Khi đó $$\Gamma((ax+b)f(x))=(a^2+b^2)(a_0^2+a_1^2+...+a_n ^2)+2ab(a_0.a_1+a_1a_2+...+a_{n-1}.a_n).$$
    • Từ tính chất trên suy ra $$\Gamma((ax+b)f(x))=\Gamma((bx+a)f(x)).$$
    • Với mọi số nguyên dương $n$ ta có $$\Gamma((ax+b)^nf^n(x))=\Gamma((ax+b)^{n-1}(bx+a)f^n(x))=...=\Gamma((bx+a)^nf^n(x)).$$
    Trở lại bài toán. Đặt $X=\{2;3;...;2020\}$, Gọi $A$ là tập con bất kỳ của $X$, đặt $$Q_{A}(x)=(x+1)\prod\limits_{k \notin A} {\left( {x + k} \right)}\prod\limits_{k \in A} {\left( {kx + 1} \right)}.$$ Áp dụng tính chất $(ii)$, ta được $\Gamma(Q_A(x))=\Gamma(P(x))$ và cũng từ tính chất $(iii)$ suy ra $\Gamma(Q_A^n(x))=\Gamma (P^n(x))$ với mọi số nguyên dương $n$. Hay $Q_A(x)$ là một đa thức thỏa mãn điều kiện bài toán. Do tập $X$ có $2^{2019}$ tập con. Nên có ít nhất $2^{2019}$ đa thức thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
  4. http://analgeomatica.blogspot.com/2019/01/bai-hinh-vmo-bai-4-ngay-1-nam-2019.html hoặc https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2019/01/bai-4-vmo-2019.pdf
  5. Trước hết ta có một số kết quả sau
    • $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{q^n}=0$ với $q>1$ cho trước.
    • $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{C_{2n}^n}=0$ với mọi số thực dương $a<4$. Thật vậy, ta có $$0<\dfrac{a^n}{C_{2n}^n}<\dfrac{a^n}{\dfrac{1}{2n}. 4^n}=\dfrac{2n}{q^n}$$ với $q=\dfrac{4}{a}>1$. Suy ra $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{C_{2n}^n}=0$.
    Trở lại bài toán, ta sẽ chứng minh phần $(b)$ trước. Giả sử rằng $x^2-\alpha x+1=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $P(x),Q(x)$ là hai đa thức với hệ số không âm. Từ đây suy ra $2-\alpha=\dfrac{P(1)}{Q(1)}>0$. Hay $\alpha <2$. Và đây là tất cả những số $\alpha$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi $\alpha \leq 0$ là trường hợp tầm thường (vì $f(x)=\dfrac{f(x)}{1}$). Ta chỉ xét $\alpha >0$. Do $\alpha<2$ nên $a=2+\alpha <4$. Từ tính chất $(ii)$, suy ra tồn tại $n$ sao $\dfrac{(2+\alpha)^{2^{n-1}}}{C_{2^n}^{2^{n-1}}}<1$ hay $(2+\alpha)^{2^{n-1}}<C_{2^n}^{2^{n-1}}$. Xét các biểu thức $$\begin{align}P(x)&=x^{2^{n-1}}[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2^n}-(2+\alpha)^{2^{n-1}}] \\ Q(x)&=x^{2^{n-1}-1}[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2}+(2+\alpha)]...[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2^{n-1}}+(2+\alpha)^{2^{n-2}}]\end{align}.$$ Rõ ràng $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức với hệ số không âm, đồng thời $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=x[(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}})^{2}-(2+\alpha)]=f(x).$$ Hay ta có điều phải chứng minh.
  6. http://analgeomatica.blogspot.com/2019/01/bai-hinh-vmo-bai-6-ngay-2-nam-2019.html hoặc https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2019/01/bai-6-vmo-2019.pdf
  7. Trước hết ta có một số nhận xét sau
    • Có tất cả là $n^{25}$ cách tô màu tất cả các ô của mảnh giấy (kể cả giống nhau do quay và lật).
    • Phép lật ngược mảnh giấy được xem như là phép đối đối xứng của hình vuông (bao gồm phép đối xứng ngang dọc hoặc phép đối xứng chéo).
    • Một số mảnh giấy có thể tự xoay hoặc tự đối xứng thành chính nó và tất cả các mảnh giấy được chia thành $8$ trường hợp sau
      • Quay được $90^\circ$ và đối xứng được: Trường hợp này có tất cả là $x_1=n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $1$ lần. 
      • Quay được $90^\circ$ và không đối xứng được: Trường hợp này có tất cả là $x_2=n^7-n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $2$ lần. 
      • Quay $180^\circ$ và đối xứng ngang hoặc dọc (không quay $90^\circ$): Trường hợp này có tất cả là $x_3=n^8-n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $2$ lần. 
      • Quay $180^\circ$ và đối xứng chéo (không quay $90^\circ$): Trường hợp này có tất cả là $x_4=n^9-n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $2$ lần. 
      • Quay $180^\circ$ và không đối xứng (không quay $90^\circ$): Trường hợp này có $x_5\leq n^{13}-n^7$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $4$ lần. 
      • Không quay được nhưng đối xưng ngang hoặc dọc: Trường hợp này có tất cả là $x_6\leq n^{14}-n^8$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $4$ lần. 
      • Không quay được nhưng đối xứng chéo: Trường hợp này có tất cả là $x_7\leq n^{15}-n^9$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $4$ lần. 
      • Không quay và không đối xứng: Đây là những cách tô màu còn lại, có tất cả là $x_8=n^{25}-x_1-x_2-x_3-x_4-x_5-x_6-x_7$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $8$ lần.
    Vậy số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu bài toán là $$\begin{align}S&=x_1+\frac{x_2+x_3+x_4}{2}+\frac{x_5+x_6+x_7}{4}+\frac{x_8}{8}\\&=\frac{n^{25}+x_7+x_6+x_5+3x_4+3x_3+3x_2+7x_1}{8}\\&\leq \frac{n^{25}+n^{15}+n^{14}+n^{13}+2n^9+2n^8+2n^7-2n^6}{8}\\&\leq\frac{n^{25}+4.n^{15}+n^{13}+2n^7}{8}\end{align}$$
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. Cho Parabol $(P): y=-\dfrac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y=x-4$.
    a) Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng hệ trục tọa độ.
    b) Tìm tọa độ của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.
  2. Cho phương trình $2x^2-3x-1$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức $$A = \dfrac{x_1-1}{x_1+1}+\dfrac{x_2-1}{x_2+1}.$$
  3. Quy tắc sau đây cho ta biết được ngày $n$, tháng $t$, năm $2019$ là ngày thứ mấy trong tuần. Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức $T = n + H$, ở đây $H$ được xác định bởi bảng sau $$\begin{array}{| c | c | c | c | c | c | c | c |} \hline Tháng t & 8 & 2; 3; 11 & 6 & 9; 12 & 4; 7 & 1; 10 & 5 \\ \hline H & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\hline \end{array}$$ Sau đó, lấy $T$ chia cho $7$ ta được số dư $r$ ($0 < r < 6$)
    • Nếu $r = 0$ thì ngày đó là ngày thứ Bảy.
    • Nếu $r = 1$ thì ngày đó là ngày Chủ Nhật.
    • Nếu $r = 2$ thì ngày đó là ngày thứ Hai.
    • Nếu $r = 3$ thì ngày đó là ngày thứ Ba.
    • ...
    • Nếu $r = 6$ thì ngày đó là ngày thứ Sáu.
    Ví dụ: Ngày 31 / 12 / 2019, có $n = 31$; $t = 12$, $H = 0$ $\Rightarrow$ $T = 31 + 0 = 31$; số $31$ chia cho $7$ có số dư là $3$, nên ngày đó là thứ Ba.
    a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày 02 / 9 / 2019 và 20 / 11 / 2019 là thứ mấy?.
    b) Ban Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng 10 / 2019. Hỏi sinh nhật của bạn Hằng là ngày mấy? Biết rằng ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của $3$ và là thứ Hai.
  4. Tại bề mặt đại dương, áp suất nước tăng áp suất khí quyển và là $1 atm$ (atmosphere). Bên dưới mặt nước, áp suất nước tăng thêm $1 atm$ cho mỗi $10$ mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất $y (atm)$ và độ sâu $x (m)$ dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b$.
    a) Xác định các hệ số $a$ và $b$.
    b) Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là $2,85 atm$?.
  5. Một nhóm học sinh gôm $31$ bạn học sinh tổ chức một chuyến đi du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho mỗi bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, và giờ chót có $3$ bạn bận việc đột xuất không đi được nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại đóng thêm 18 000 đồng so với dự kiến ban đầu để bù lại cho $3$ bạn không tham dự. Hỏi tổng chi phí chuyến đi là bao nhiêu?
  6. Cuối năm học, các bạn lớp $9A$ chia làm hai nhóm, mỗi nhóm chọn một khu vườn sinh thái ở Bắc bán cầu để tham quan. Khi mở hệ thống định vị GPS, họ phát hiện một sự trùng hợp khá thú vị là hai vị trí mà hai nhóm chọn đều nằm trên cùng một kinh tuyển và lần lượt ở các vĩ tuyến $47^o$ và $72^\circ$.
    a) Tính khoảng cách (làm tròn đến hàng trăm ) giữa hai vị trí đó, biết rằng kinh tuyến là một cung tròn nội liền hai cực của trái đất và có độ dài khoảng $20 000 km$.)
    b) Tính (làm tròn đến hàng trăm) độ dài bán kính và đường xích đạo của trái đất. Từ kết quả của bản kính (đã làm tròn), hãy tính thể tích của trái đất, biết rằng trái đất có dạng hình cầu và thể tích của hình cầu được tính theo công thức $V =\dfrac{4}{3}.3,14.R$ với $R$ là bán kính hình cầu.
  7. Bạn Dũng trung bình tiêu thụ $15$ ca-lo cho mỗi phút bơi và $10$ ca-lo cho mỗi phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất $1,5$ giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1200 ca-lo. Hỏi hôm nay, bạn Dũng mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?
  8. Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $AH$ cắt $BC$ và $(O)$ lần lượt tại $F$ và $K$ $(K \neq A)$. Gọi $L$ là hình chiếu của $D$ lên $AB$.
    a) Chứng minh rằng tứ giác $BEDC$ nội tiếp và $BD^2 = BL\cdot BA$.
    b) Gọi $J$ là giao điểm của $KD$ và $(O)$ $(J \neq K)$. Chứng minh $\widehat{BJK} = \widehat{BDE}$.
    c) Gọi $I$ là giao điểm của $BJ$ và $ED$. Chứng minh tứ giác $ALIJ$ nội tiếp và $I$ là trung điểm của $ED$.
Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
  1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3$ là ước của $3^n-1$.
  2. Với $k$ là số nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=k,\quad u_{n+1}=\dfrac{(n+2)u_n-2k+4}{n},\,\forall n \in \mathbb{Z}^+.$$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho trong dãy số $(u_n)$ có đúng $2019$ số hạng là số chính phương.
  3. Cho tam giác $ABC$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB$. $PB$, $PC$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AC$ tại $M$. Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$.
    a) Chứng minh rằng số đo góc $\angle MPN$ không đổi khi $D$ thay đổi.
    b) Gọi giao của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $MN$ là $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là phân giác của góc $\angle MPN$.
  4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, $b$, $c$ ta luôn có $$\dfrac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2} \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9}{2}$$
  5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho $$P(x^3+x^2+1)=P(x+2)P(x^2+1)$$
  6. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho $AD$ là đường kính, đồng thời $EA=ED$. Dựng ra ngoài ngũ giác $ABCDE$, tam giác $BCF$ vuông cân tại $F$, và hai hình vuông $ABMN$, $CDPQ$. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm $MQ$ và $OS$. Chứng minh rằng $RT \perp EF$.
  7. Một khu vực quốc tế có $512$ sân bay. Mỗi sân bay đều có thể bay trực tiếp tới ít nhất $5$ sân bay khác. Biết rằng ta có thể đi từ bất kì sân bay nào đến bất kì sân bay khác thông qua một hoặc nhiều chuyến bay trực tiếp. Với mỗi cặp sân bay ta xét tuyến đường ngắn nhất nối giữa chúng, tức là tuyến đường mà nó gồm số lượng ít nhất các đường bay trực tiếp nối giữa hai sân bay này. Hỏi số lượng đường bay trực tiếp lớn nhất có thể có trong một tuyến đường ngắn nhất giữa hai sân bay nào đó là bao nhiêu?.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    Đã từ lâu tôi nung nấu viết một cuốn sách về phương pháp giải các bài toán olympic. Không thiên về các kiến thức cụ thể như dãy số, đa thức, bất đẳng thức, đồng dư, phép đếm, lý thuyết đồ thị... mà tập trung vào cách tiếp cận, cách phân tích để tìm kiếm lòi giải, các nguyên lý và kỹ thuật chứng minh mang tính phổ dụng, có thể áp dụng trong các phân môn, các dạng toán khác nhau.

    Để giúp các em yêu thích môn toán tiếp cận với các đề thi và các chuyên đề Olympic toán học, các giảng viên Khoa Toán - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM cùng các cộng sự đã thực hiện việc biên soạn cuốn "Các phương pháp giải toán qua các kỳ thi Olympic". 

    Quả là viết một cuốn sách như thế khó hơn hẳn so với viết sách theo một chủ đề hẹp. Phải chọn các ví dụ thế nào, dẫn dắt ra sao để có thể tập trung nhấn mạnh vấn đề phương pháp chung, mang tính tổng quát chứ không sa đà vào chi tiết. Rất may mắn là tôi đã có kinh nghiệm hơn 20 năm huấn luyện các đội tuyển, nhiều bài toán và ví dụ đã giảng đi giảng lại cả mấy chục lần, cho rất nhiều các thế hệ học sinh (Và điều tuyệt vời là những bài toán đó vẫn luôn đem lại những cảm hứng mói cho cả thầy và trò. Bài toán hay luôn có sức sống bất tận). Trong 10 năm trở lại đây, tôi đã viết khá nhiều những chuyên đề về đề tài này và có thể nói, cuốn sách này sẽ tổng hợp lại các chuyên đề đó thành một thể thống nhất.

    Nội dung cuốn sách này bao gồm các chuyên đề thuộc tất cả các lĩnh vực toán Olympic: Đại số, Giải tích, Hình học, Số học và Tổ hợp với những mức độ chuyên sâu khác nhau, vì thế, phù hợp cho tất cả các học sinh chuyên toán. Bên cạnh đó, cuốn sách cũng giới thiệu các đề thi và lời giải cùng những bình luận chi tiết các kỳ thi quan trọng nhất về Toán của Việt Nam trong năm qua.

    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Find all positive integers $n$ such that the equation $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$ has exactly $2011$ positive integer solutions $(x,y)$ where $x \leq y$.
    2. The diagonals $AC$, $BD$ of the quadrilateral $ABCD$ intersect at $E$. Let $M$, $N$ be the midpoints of $AB$, $CD$ respectively. Let the perpendicular bisectors of the segments $AB$, $CD$ meet at $F$. Suppose that $EF$ meets $BC$, $AD$ at $P$, $Q$ respectively. Assume that $$MF\cdot CD=NF\cdot AB,\quad DQ\cdot BP=AQ\cdot CP.$$ Prove that $PQ\perp BC$.
    3. The positive reals $a,b,c,d$ satisfy $abcd=1$. Prove that $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{9}{{a + b + c + d}} \geqslant \frac{{25}}{4}.$$
    4. A tennis tournament has $n>2$ players and any two players play one game against each other (ties are not allowed). After the game these players can be arranged in a circle, such that for any three players $A,B,C$, if $A,B$ are adjacent on the circle, then at least one of $A$, $B$ won against $C$. Find all possible values for $n$.
    5. A real number $\alpha \geq 0$ is given. Find the smallest $\lambda = \lambda (\alpha ) > 0$, such that for any complex numbers ${z_1},{z_2}$ and $0 \leq x \leq 1$, if $\left| {{z_1}} \right| \leq \alpha \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$, then $$\left| {{z_1} - x{z_2}} \right| \leq \lambda \left| {{z_1} - {z_2}} \right|.$$
    6. Do there exist positive integers $m$, $n$, such that $m^{20}+11^n$ is a square number?
    7. There are $n$ boxes ${B_1},{B_2},\ldots,{B_n}$ from left to right, and there are $n$ balls in these boxes. If there is at least $1$ ball in ${B_1}$, we can move one to ${B_2}$. If there is at least $1$ ball in ${B_n}$, we can move one to ${B_{n - 1}}$. If there are at least $2$ balls in ${B_k}$, $2 \leq k \leq n - 1$ we can move one to ${B_{k - 1}}$, and one to ${B_{k + 1}}$. Prove that, for any arrangement of the $n$ balls, we can achieve that each box has one ball in it.
    8. The $A$-excircle $(O)$ of $\triangle ABC$ touches $BC$ at $M$. The points $D$, $E$ lie on the sides $AB$, $AC$ respectively such that $DE\parallel BC$. The incircle $(O_1)$ of $\triangle ADE$ touches $DE$ at $N$. If $BO_1\cap DO=F$ and $CO_1\cap EO=G$, prove that the midpoint of $FG$ lies on $MN$.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Let $n$ be an integer greater than two, and let $A_1,A_2, \cdots , A_{2n}$ be pairwise distinct subsets of $\{1, 2, ,n\}$. Determine the maximum value of \[\sum_{i=1}^{2n} \dfrac{|A_i \cap A_{i+1}|}{|A_i| \cdot |A_{i+1}|}.\] Where $A_{2n+1}=A_1$ and $|X|$ denote the number of elements in $X.$
    2. In triangle $ABC$, $AB = AC$. Point $D$ is the midpoint of side $BC$. Point $E$ lies outside the triangle $ABC$ such that $CE \perp AB$ and $BE = BD$. Let $M$ be the midpoint of segment $BE$. Point $F$ lies on the minor arc $\widehat{AD}$ of the circumcircle of triangle $ABD$ such that $MF \perp BE$. Prove that $ED \perp FD.$
    3. Prove that for every given positive integer $n$, there exists a prime $p$ and an integer $m$ such that
      a) $p \equiv 5 \pmod 6$.
      b) $p \nmid n$.
      c) $n \equiv m^3 \pmod p$.
    4. Let $x_1,x_2,\cdots,x_n$ be real numbers with $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$. Prove that \[\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{k}{{\sum_{i=1}^{n} ix_i^2}}\right)^2 \cdot \dfrac{x_k^2}{k} \leq \left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)^2 \sum_{k=1}^{n} \dfrac{x_k^2}{k}.\] Determine when does the equality hold?
    5. Let $f(x)$ and $g(x)$ be strictly increasing linear functions from $\mathbb R $ to $\mathbb R $ such that $f(x)$ is an integer if and only if $g(x)$ is an integer. Prove that for any real number $x$, $f(x)-g(x)$ is an integer.
    6. In acute triangle $ABC$, $AB > AC$. Let $M$ be the midpoint of side $BC$. The exterior angle bisector of $\widehat{BAC}$ meet ray $BC$ at $P$. Point $K$ and $F$ lie on line $PA$ such that $MF \perp BC$ and $MK \perp PA$. Prove that $$BC^2 = 4 PF \cdot AK.$$
    7. For given integer $n \geq 3$, set $S =\{p_1, p_2, \cdots, p_m\}$ consists of permutations $p_i$ of $(1, 2, \cdots, n)$. Suppose that among every three distinct numbers in $\{1, 2, \cdots, n\}$, one of these number does not lie in between the other two numbers in every permutations $p_i$ ($1 \leq i \leq m$). (For example, in the permutation $(1, 3, 2, 4)$, $3$ lies in between $1$ and $4$, and $4$ does not lie in between $1$ and $2$.) Determine the maximum value of $m$.
    8. Determine the least odd number $a > 5$ satisfying the following conditions: There are positive integers $m_1$, $m_2$, $n_1$, $n_2$ such that $a=m_1^2+n_1^2$, $a^2=m_2^2+n_2^2$, and $m_1-n_1=m_2-n_2.$
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Show that there are only finitely many triples $ (x,y,z)$ of positive integers satisfying the equation $$abc=2009(a+b+c).$$
    2. Right triangle $ ABC$, with $ \angle A=90^{\circ},$ is inscribed in circle $ \Gamma.$ Point $ E$ lies on the interior of arc $ {BC}$ (not containing $ A$) with $ EA>EC.$ Point $ F$ lies on ray $ EC$ with $ \angle EAC = \angle CAF.$ Segment $ BF$ meets $ \Gamma$ again at $ D$ (other than $ B$). Let $ O$ denote the circumcenter of triangle $ DEF.$ Prove that $ A$, $C$, $O$ are collinear.
    3. Let $ n$ be a given positive integer. In the coordinate set, consider the set of points $$\{P_{1},P_{2},...,P_{4n+1}\}=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{Z}, xy=0, |x|\le n, |y|\le n\}.$$ Determine the minimum of $$(P_{1}P_{2})^{2} + (P_{2}P_{3})^{2} +...+ (P_{4n}P_{4n+1})^{2} + (P_{4n+1}P_{1})^{2}.$$
    4. Let $ n$ be an integer greater than $ 3.$ Points $ V_{1},V_{2},...,V_{n},$ with no three collinear, lie on a plane. Some of the segments $ V_{i}V_{j},$ with $ 1 \le i < j \le n,$ are constructed. Points $ V_{i}$ and $ V_{j}$ are neighbors if $ V_{i}V_{j}$ is constructed. Initially, chess pieces $ C_{1},C_{2},...,C_{n}$ are placed at points $ V_{1},V_{2},...,V_{n}$ (not necessarily in that order) with exactly one piece at each point. In a move, one can choose some of the $ n$ chess pieces, and simultaneously relocate each of the chosen piece from its current position to one of its neighboring positions such that after the move, exactly one chess piece is at each point and no two chess pieces have exchanged their positions. A set of constructed segments is called harmonic if for any initial positions of the chess pieces, each chess piece $ C_{i}(1 \le i \le n)$ is at the point $ V_{i}$ after a finite number of moves. Determine the minimum number of segments in a harmonic set.
    5. Let $ x,y,z$ be real numbers greater than or equal to $ 1.$ Prove that \[ \prod(x^{2} - 2x + 2)\le (xyz)^{2} - 2xyz + 2.\]
    6. Circle $ \Gamma_{1},$ with radius $ r,$ is internally tangent to circle $ \Gamma_{2}$ at $ S.$ Chord $ AB$ of $ \Gamma_{2}$ is tangent to $ \Gamma_{1}$ at $ C.$ Let $ M$ be the midpoint of arc $ AB$ (not containing $ S$), and let $ N$ be the foot of the perpendicular from $ M$ to line $ AB.$ Prove that $$AC\cdot CB=2r\cdot MN.$$
    7. On a $ 10 \times 10$ chessboard, some $ 4n$ unit squares are chosen to form a region $ \mathcal{R}.$ This region $ \mathcal{R}$ can be tiled by $ n$ $ 2 \times 2$ squares. This region $ \mathcal{R}$ can also be tiled by a combination of $ n$ pieces of the following types of shapes (see below, with rotations allowed). Determine the value of $ n.$
    8. For a positive integer $ n,$ $ a_{n}=n\sqrt{5}- \lfloor n\sqrt{5}\rfloor$. Compute the maximum value and the minimum value of $ a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2009}.$
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. a) Determine if the set $ \{1,2,\ldots,96\}$ can be partitioned into 32 sets of equal size and equal sum.
      b) Determine if the set $ \{1,2,\ldots,99\}$ can be partitioned into 33 sets of equal size and equal sum.
    2. Let $ \varphi(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ be a polynomial with real coefficients. Given that $ \varphi(x)$ has three positive real roots and that $ \varphi(0) < 0$. Prove that \[ 2b^3 + 9a^2d - 7abc \leq 0. \]
    3. Determine the least real number $ a$ greater than $ 1$ such that for any point $ P$ in the interior of the square $ ABCD$, the area ratio between two of the triangles $ PAB$, $ PBC$, $ PCD$, $ PDA$ lies in the interval $ \left[\frac {1}{a},a\right]$.
    4. Equilateral triangles $ ABQ$, $ BCR$, $ CDS$, $ DAP$ are erected outside of the convex quadrilateral $ ABCD$. Let $ X$, $ Y$, $ Z$, $ W$ be the midpoints of the segments $ PQ$, $ QR$, $ RS$, $ SP$, respectively. Determine the maximum value of \[ \frac {XZ+YW}{AC + BD}. \]
    5. In convex quadrilateral $ ABCD$, $ AB = BC$ and $ AD = DC$. Point $ E$ lies on segment $ AB$ and point $ F$ lies on segment $ AD$ such that $ B$, $ E$, $ F$, $ D$ lie on a circle. Point $ P$ is such that triangles $ DPE$ and $ ADC$ are similar and the corresponding vertices are in the same orientation (clockwise or counterclockwise). Point $ Q$ is such that triangles $ BQF$ and $ ABC$ are similar and the corresponding vertices are in the same orientation. Prove that points $ A$, $ P$, $ Q$ are collinear.
    6. Let $ (x_1,x_2,\cdots)$ be a sequence of positive numbers such that $$(8x_2 - 7x_1)x_1^7 = 8,\quad x_{k + 1}x_{k - 1} - x_k^2 = \frac {x_{k - 1}^8 - x_k^8}{x_k^7x_{k - 1}^7},\, k = 2,3,\ldots.$$ Determine real number $ a$ such that if $ x_1 > a$, then the sequence is monotonically decreasing, and if $ 0 < x_1 < a$, then the sequence is not monotonic.
    7. On a given $ 2008 \times 2008$ chessboard, each unit square is colored in a different color. Every unit square is filled with one of the letters $C$, $G$, $M$, $O$. The resulting board is called harmonic if every $ 2 \times 2$ subsquare contains all four different letters. How many harmonic boards are there?
    8. For positive integers $ n$, $$f_n = \lfloor2^n\sqrt {2008}\rfloor + \lfloor2^n\sqrt {2009}\rfloor.$$ Prove there are infinitely many odd numbers and infinitely many even numbers in the sequence $ f_1,f_2,\ldots$.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. A positive integer $ m$ is called good if there is a positive integer $ n$ such that $ m$ is the quotient of $ n$ by the number of positive integer divisors of $ n$ (including $ 1$ and $ n$ itself). Prove that $ 1, 2, \ldots, 17$ are good numbers and that $ 18$ is not a good number.
    2. Let $ ABC$ be an acute triangle. Points $ D$, $ E$, and $ F$ lie on segments $ BC$, $ CA$, and $ AB$, respectively, and each of the three segments $ AD$, $ BE$, and $ CF$ contains the circumcenter of $ ABC$. Prove that if any two of the ratios $$\dfrac{BD}{DC},\, \dfrac{CE}{EA},\, \dfrac{AF}{FB},\, \dfrac{BF}{FA},\, \dfrac{AE}{EC},\, \dfrac{CD}{DB}$$ are integers, then triangle $ ABC$ is isosceles.
    3. Let $ n$ be an integer greater than $ 3$, and let $ a_1, a_2, \cdots, a_n$ be non-negative real numbers with $ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 2$. Determine the minimum value of \[ \frac{a_1}{a_2^2 + 1}+ \frac{a_2}{a^2_3 + 1}+ \cdots + \frac{a_n}{a^2_1 + 1}.\]
    4. The set $ S$ consists of $ n > 2$ points in the plane. The set $ P$ consists of $ m$ lines in the plane such that every line in $ P$ is an axis of symmetry for $ S$. Prove that $ m\leq n$, and determine when equality holds.
    5. Point $D$ lies inside triangle $ABC$ such that $\angle DAC = \angle DCA = 30^{\circ}$ and $\angle DBA = 60^{\circ}$. Point $E$ is the midpoint of segment $BC$. Point $F$ lies on segment $AC$ with $AF = 2FC$. Prove that $DE \perp EF$.
    6. Let $ a,b,c\geq 0$ with $ a+b+c=1$. Prove that $$ \sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$$
    7. Let $ a$, $ b$, $ c$ be integers each with absolute value less than or equal to $ 10$. The cubic polynomial $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ satisfies the property \[ \Big|f\left(2 + \sqrt 3\right)\Big| < 0.0001. \] Determine if $ 2 + \sqrt 3$ is a root of $ f$.
    8. In a round robin chess tournament each player plays every other player exactly once. The winner of each game gets $ 1$ point and the loser gets $ 0$ points. If the game is tied, each player gets $ 0.5$ points. Given a positive integer $ m$, a tournament is said to have property $ P(m)$ if the following holds: among every set $ S$ of $ m$ players, there is one player who won all her games against the other $ m-1$ players in $ S$ and one player who lost all her games against the other $ m - 1$ players in $ S$. For a given integer $ m \ge 4$, determine the minimum value of $ n$ (as a function of $ m$) such that the following holds: in every $ n$-player round robin chess tournament with property $ P(m)$, the final scores of the $ n$ players are all distinct.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Let $a>0$, the function $f: (0,+\infty) \to R$ satisfies $f(a)=1$, if for any positive reals $x$ and $y$, there is \[f(x)f(y)+f \left( \frac{a}{x}\right)f \left( \frac{a}{y}\right) =2f(xy)\] then prove that $f(x)$ is a constant.
    2. Let $O$ be the intersection of the diagonals of convex quadrilateral $ABCD$. The circumcircles of $\triangle{OAD}$ and $\triangle{OBC}$ meet at $O$ and $M$. Line $OM$ meets the circumcircles of $\triangle{OAB}$ and $\triangle{OCD}$ at $T$ and $S$ respectively. Prove that $M$ is the midpoint of $ST$.
    3. Show that for any $i=1,2,3$, there exist infinity many positive integer $n$, such that among $n$, $n+2$ and $n+28$, there are exactly $i$ terms that can be expressed as the sum of the cubes of three positive integers.
    4. $8$ people participate in a party. a) Among any $5$ people there are $3$ who pairwise know each other. Prove that there are $4$ people who paiwise know each other. b) If Among any $6$ people there are $3$ who pairwise know each other, then can we find $4$ people who pairwise know each other?
    5. The set $S = \{ (a,b) \mid 1 \leq a, b \leq 5, a,b \in \mathbb{Z}\}$ be a set of points in the plane with integeral coordinates. $T$ is another set of points with integeral coordinates in the plane. If for any point $P \in S$, there is always another point $Q \in T$, $P \neq Q$, such that there is no other integeral points on segment $PQ$. Find the least value of the number of elements of $T$.
    6. Let $M= \{ 1, 2, \cdots, 19 \}$ and $A = \{ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\}\subseteq M$. Find the least $k$ so that for any $b \in M$, there exist $a_{i}, a_{j}\in A$, satisfying $b=a_{i}$ or $b=a_{i}\pm a_{i}$ ($a_{i}$ and $a_{j}$ do not have to be different) .
    7. Given that $x_{i}>0$, $i = 1, 2, \cdots, n$, $k \geq 1$. Show that: \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}\leq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{k+1}}{1+x_{i}}\cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{k}}\]
    8. Let $p$ be a prime number that is greater than $3$. Show that there exist some integers $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{k}$ that satisfy: \[-\frac{p}{2}< a_{1}< a_{2}< \cdots <a_{k}< \frac{p}{2}\] making the product: \[\frac{p-a_{1}}{|a_{1}|}\cdot \frac{p-a_{2}}{|a_{2}|}\cdots \frac{p-a_{k}}{|a_{k}|}\] equals to $3^{m}$ where $m$ is a positive integer.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. As shown in the following figure, point $ P$ lies on the circumcicle of triangle $ ABC.$ Lines $ AB$ and $ CP$ meet at $ E,$ and lines $ AC$ and $ BP$ meet at $ F.$ The perpendicular bisector of line segment $ AB$ meets line segment $ AC$ at $ K,$ and the perpendicular bisector of line segment $ AC$ meets line segment $ AB$ at $ J.$ Prove that \[ \left(\frac{CE}{BF} \right)^2 = \frac{AJ \cdot JE}{AK \cdot KF}.\]
    2. Find all ordered triples $ (x, y, z)$ of real numbers such that $xy + yz + zy = 1$ and \[ 5 \left(x + \frac{1}{x} \right) = 12 \left(y + \frac{1}{y} \right) = 13 \left(z + \frac{1}{z} \right).\]
    3. Determine if there exists a convex polyhedron such that
      a) it has 12 edges, 6 faces and 8 vertices;
      b) it has 4 faces with each pair of them sharing a common edge of the polyhedron.
    4. Determine all positive real numbers $ a$ such that there exists a positive integer $ n$ and sets $ A_1, A_2, \ldots, A_n$ satisfying the following conditions
      • every set $ A_i$ has infinitely many elements;
      • every pair of distinct sets $ A_i$ and $ A_j$ do not share any common element
      • the union of sets $ A_1, A_2, \ldots, A_n$ is the set of all integers;
      • for every set $ A_i,$ the positive difference of any pair of elements in $ A_i$ is at least $ a^i.$
    5. Let $ x$ and $ y$ be positive real numbers with $ x^3 + y^3 = x - y.$ Prove that \[ x^2 + 4y^2 < 1.\]
    6. An integer $ n$ is called good if there are $ n \geq 3$ lattice points $ P_1, P_2, \ldots, P_n$ in the coordinate plane satisfying the following conditions: If line segment $ P_iP_j$ has a rational length, then there is $ P_k$ such that both line segments $ P_iP_k$ and $ P_jP_k$ have irrational lengths; and if line segment $ P_iP_j$ has an irrational length, then there is $ P_k$ such that both line segments $ P_iP_k$ and $ P_jP_k$ have rational lengths. a) Determine the minimum good number. b) Determine if 2005 is a good number. (A point in the coordinate plane is a lattice point if both of its coordinate are integers.)
    7. Let $ m$ and $ n$ be positive integers with $ m > n \geq 2.$ Set $ S = \{1, 2, \ldots, m\},$ and $ T = \{a_l, a_2, \ldots, a_n\}$ is a subset of S such that every number in $ S$ is not divisible by any two distinct numbers in $ T.$ Prove that \[ \sum^n_{i = 1} \frac {1}{a_i} < \frac {m + n}{m}. \]
    8. Given an $ a \times b$ rectangle with $ a > b > 0$, determine the minimum side of a square that covers the rectangle. (A square covers the rectangle if each point in the rectangle lies inside the square.)
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. We say a positive integer $ n$ is good if there exists a permutation $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ of $ 1, 2, \ldots, n$ such that $ k + a_k$ is perfect square for all $ 1\le k\le n$. Determine all the good numbers in the set $ \{11, 13, 15, 17, 19\}$.
    2. Let $ a, b, c$ be positive reals. Find the smallest value of \[ \frac {a + 3c}{a + 2b + c} + \frac {4b}{a + b + 2c} - \frac {8c}{a + b + 3c}. \]
    3. Let $ ABC$ be an obtuse inscribed in a circle of radius $ 1$. Prove that $ \triangle ABC$ can be covered by an isosceles right-angled triangle with hypotenuse of length $ \sqrt {2} + 1$.
    4. A deck of $ 32$ cards has $ 2$ different jokers each of which is numbered $ 0$. There are $ 10$ red cards numbered $ 1$ through $ 10$ and similarly for blue and green cards. One chooses a number of cards from the deck. If a card in hand is numbered $ k$, then the value of the card is $ 2^k$, and the value of the hand is sum of the values of the cards in hand. Determine the number of hands having the value $ 2004$.
    5. Let $ u, v, w$ be positive real numbers such that $$u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu} + w\sqrt {uv} \geq 1.$$ Find the smallest value of $ u + v + w$.
    6. Given an acute triangle $ABC$ with $O$ as its circumcenter. Line $AO$ intersects $BC$ at $D$. Points $E$, $F$ are on $AB$, $AC$ respectively such that $A$, $E$, $D$, $F$ are concyclic. Prove that the length of the projection of line segment $EF$ on side $BC$ does not depend on the positions of $E$ and $F$.
    7. Let $ p$ and $ q$ be two coprime positive integers, and $ n$ be a non-negative integer. Determine the number of integers that can be written in the form $ ip + jq$, where $ i$ and $ j$ are non-negative integers with $ i + j \leq n$.
    8. When the unit squares at the four corners are removed from a three by three squares, the resulting shape is called a cross. What is the maximum number of non-overlapping crosses placed within the boundary of a $ 10\times 11$ chessboard? (Each cross covers exactly five unit squares on the board.)
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Let $ ABC$ be a triangle. Points $ D$ and $ E$ are on sides $ AB$ and $ AC$, respectively, and point $ F$ is on line segment $ DE$. Let $$\frac {AD}{AB} = x,\, \frac {AE}{AC} = y,\, \frac {DF}{DE} = z.$$ Prove that
      a) $ S_{\triangle BDF} = (1 - x)y S_{\triangle ABC}$ and $ S_{\triangle CEF} = x(1 - y) (1 - z)S_{\triangle ABC};$
      b) $ \sqrt [3]{S_{\triangle BDF}} + \sqrt [3]{S_{\triangle CEF}} \leq \sqrt [3]{S_{\triangle ABC}}.$
    2. There are $47$ students in a classroom with seats arranged in 6 rows $ \times$ 8 columns, and the seat in the $ i$-th row and $ j$-th column is denoted by $ (i,j).$ Now, an adjustment is made for students’ seats in the new school term. For a student with the original seat $ (i,j),$ if his/her new seat is $ (m,n),$ we say that the student is moved by $ [a, b] = [i - m, j - n]$ and define the position value of the student as $ a+b.$ Let $ S$ denote the sum of the position values of all the students. Determine the difference between the greatest and smallest possible values of $ S.$
    3. As shown in the figure, quadrilateral $ ABCD$ is inscribed in a circle with $ AC$ as its diameter, $ BD \perp AC$, and $ E$ the intersection of $ AC$ and $ BD$. Extend line segment $ DA$ and $ BA$ through $ A$ to $ F$ and $ G$ respectively, such that $ DG || BF.$ Extend $ GF$ to $ H$ such that $ CH \perp GH$. Prove that points $ B$, $E$, $F$ and $ H$ lie on one circle.
    4. a) Prove that there exist five nonnegative real numbers $ a, b, c, d$ and $ e$ with their sum equal to $1$ such that for any arrangement of these numbers around a circle, there are always two neighboring numbers with their product not less than $ \dfrac{1}{9}.$
      b) Prove that for any five nonnegative real numbers with their sum equal to 1, it is always possible to arrange them around a circle such that there are two neighboring numbers with their product not greater than $ \dfrac{1}{9}.$
    5. Let $ \{a_n\}^{\infty}_1$ be a sequence of real numbers such that $$a_1 = 2,\quad a_{n+1} = a^2_n - a_n + 1,\, \forall n \in \mathbb{N}.$$ Prove that \[ 1 - \frac{1}{2003^{2003}} < \sum^{2003}_{i=1} \frac{1}{a_i} < 1.\]
    6. Let $ n \geq 2$ be an integer. Find the largest real number $ \lambda$ such that the inequality \[ a^2_n \geq \lambda \sum^{n-1}_{i=1} a_i + 2 \cdot a_n.\] holds for any positive integers $ a_1, a_2, \ldots a_n$ satisfying $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n.$
    7. Let the sides of a scalene triangle $ \triangle ABC$ be $ AB = c$, $ BC = a$, $CA =b$ and $ D$, $E$, $F$ be points on $ BC$, $CA$, $AB$ such that $ AD$, $BE$, $CF$ are angle bisectors of the triangle, respectively. Assume that $ DE = DF.$ Prove that
      a) $ \dfrac{a}{b+c} = \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b}$.
      b) $\angle BAC > 90^{\circ}.$
    8. Let $ n$ be a positive integer, and $ S_n,$ be the set of all positive integer divisors of $ n$ (including 1 and itself). Prove that at most half of the elements in $ S_n$ have their last digits equal to $3$.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Find all positive integers $ n$ such $ 20n+2$ can divide $ 2003n + 2002.$
    2. There are $ 3n$ $(n \in \mathbb{Z}^+)$ girl students who took part in a summer camp. There were three girl students to be on duty every day. When the summer camp ended, it was found that any two of the $ 3n$ students had just one time to be on duty on the same day.
      a) When $ n=3,$ is there any arrangement satisfying the requirement above. Prove yor conclusion.
      b) Prove that $ n$ is an odd number.
    3. Find all positive integers $ k$ such that for any positive numbers $ a, b$ and $ c$ satisfying the inequality \[ k(ab + bc + ca) > 5(a^2 + b^2 + c^2),\] there must exist a triangle with $ a, b$ and $ c$ as the length of its three sides respectively.
    4. Circles $O_1$ and $O_2$ interest at two points $ B$ and $ C,$ and $ BC$ is the diameter of circle $O_1.$ Construct a tangent line of circle $O_1$ at $ C$ and intersecting circle $O_2$ at another point $ A.$ We join $ AB$ to intersect circle $O_1$ at point $ E,$ then join $ CE$ and extend it to intersect circle $O_2$ at point $ F.$ Assume $ H$ is an arbitrary point on line segment $ AF.$ We join $ HE$ and extend it to intersect circle $O_1$ at point $ G,$ and then join $ BG$ and extend it to intersect the extend line of $ AC$ at point $ D.$ Prove that \[ \frac{AH}{HF} = \frac{AC}{CD}.\]
    5. There are $ n \geq 2$ permutations $ P_1, P_2, \ldots, P_n$ each being an arbitrary permutation of $ \{1,\ldots,n\}.$ Prove that \[ \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{P_i + P_{i+1}} > \frac{n-1}{n+2}.\]
    6. Find all pairs of positive integers $ (x,y)$ such that \[ x^y = y^{x - y}. \]
    7. An acute triangle $ ABC$ has three heights $ AD, BE$ and $ CF$ respectively. Prove that the perimeter of triangle $ DEF$ is not over half of the perimeter of triangle $ ABC.$
    8. Assume that $ A_1, A_2, \ldots, A_8$ are eight points taken arbitrarily on a plane. For a directed line $ l$ taken arbitrarily on the plane, assume that projections of $ A_1, A_2, \ldots, A_8$ on the line are $ P_1, P_2, \ldots, P_8$ respectively. If the eight projections are pairwise disjoint, they can be arranged as $ P_{i_1}, P_{i_2}, \ldots, P_{i_8}$ according to the direction of line $ l.$ Thus we get one permutation for $ 1, 2, \ldots, 8,$ namely, $ i_1, i_2, \ldots, i_8.$ In the figure, this permutation is $ 2, 1, 8, 3, 7, 4, 6, 5.$ Assume that after these eight points are projected to every directed line on the plane, we get the number of different permutations as $ N_8 = N(A_1, A_2, \ldots, A_8).$ Find the maximal value of $ N_8.$
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Determine all functions $f : \mathbb R \to \mathbb R$ such that for all real numbers $x$ and $y$, $$f(x^2 + xy) = f(x)f(y) + yf(x) + xf(x+y).$$
    2. Let $ABC$ be an acute scalene triangle. Let $D$ and $E$ be points on the sides $AB$ and $AC$, respectively, such that $BD=CE$. Denote by $O_1$ and $O_2$ the circumcentres of the triangles $ABE$ and $ACD$, respectively. Prove that the circumcircles of the triangles $ABC$, $ADE$, and $AO_1O_2$ have a common point different from $A$.
    3. There are $2018$ players sitting around a round table. At the beginning of the game we arbitrarily deal all the cards from a deck of $K$ cards to the players (some players may receive no cards). In each turn we choose a player who draws one card from each of the two neighbors. It is only allowed to choose a player whose each neighbor holds a nonzero number of cards. The game terminates when there is no such player. Determine the largest possible value of $K$ such that, no matter how we deal the cards and how we choose the players, the game always terminates after a finite number of turns.
    4. Let $ABC$ be an acute triangle with the perimeter of $2s$. We are given three pairwise disjoint circles with pairwise disjoint interiors with the centers $A, B$, and $C$, respectively. Prove that there exists a circle with the radius of $s$ which contains all the three circles.
    5. In a $2 \times 3$ rectangle there is a polyline of length $36$, which can have self-intersections. Show that there exists a line parallel to two sides of the rectangle, which intersects the other two sides in their interior points and intersects the polyline in fewer than $10$ points.
    6. We say that a positive integer $n$ is fantastic if there exist positive rational numbers $a$ and $b$ such that $$ n = a + \frac 1a + b + \frac 1b.$$ a) Prove that there exist infinitely many prime numbers $p$ such that no multiple of $p$ is fantastic.
      b) Prove that there exist infinitely many prime numbers $p$ such that some multiple of $p$ is fantastic.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Find all positive real numbers $c$ such that there are infinitely many pairs of positive integers $(n,m)$ satisfying the following conditions $$n \ge m+c\sqrt{m - 1}+1$$ and among numbers $n, n+1,...., 2n-m$ there is no square of an integer.
    2. Let ${\omega}$ be the circumcircle of an acute-angled triangle ${ABC}$. Point ${D}$ lies on the arc ${BC}$ of ${\omega}$ not containing point ${A}$. Point ${E}$ lies in the interior of the triangle ${ABC}$, does not lie on the line ${AD}$, and satisfies ${\angle DBE =\angle ACB}$ and ${\angle DCE = \angle ABC}$. Let ${F}$ be a point on the line ${AD}$ such that lines ${EF}$ and ${BC}$ are parallel, and let ${G}$ be a point on ${\omega}$ different from ${A}$ such that ${AF = FG}$. Prove that points $D$, $E$, $F$, $G$ lie on one circle.
    3. Let ${k}$ be a fixed positive integer. A finite sequence of integers ${x_1,x_2, ..., x_n}$ is written on a blackboard. Pepa and Geoff are playing a game that proceeds in rounds as follows.
      • In each round, Pepa first partitions the sequence that is currently on the blackboard into two or more contiguous subsequences (that is, consisting of numbers appearing consecutively). However, if the number of these subsequences is larger than ${2}$, then the sum of numbers in each of them has to be divisible by ${k}$.
      • Then Geoff selects one of the subsequences that Pepa has formed and wipes all the other subsequences from the blackboard.
      The game finishes once there is only one number left on the board. Prove that Pepa may choose his moves so that independently of the moves of Geoff, the game finishes after at most ${3k}$ rounds.
    4. Let ${ABC}$ be a triangle. Line $l$ is parallel to ${BC}$ and it respectively intersects side ${AB}$ at point ${D}$, side ${AC}$ at point ${E}$, and the circumcircle of the triangle ${ABC}$ at points ${F}$ and ${G}$, where points ${F,D,E,G}$ lie in this order on $l$. The circumcircles of triangles ${FEB}$ and ${DGC}$ intersect at points ${P}$ and ${Q}$. Prove that points $A$, $P$, $Q$ are collinear.
    5. Each of the ${4n^2}$ unit squares of a ${2n \times 2n}$ board ${(n \ge 1) }$ has been colored blue or red. A set of four different unit squares of the board is called pretty if these squares can be labeled ${A,B,C,D}$ in such a way that ${A}$ and ${B}$ lie in the same row, ${C}$ and ${D}$ lie in the same row, ${A}$ and ${C}$ lie in the same column, ${B}$ and ${D}$ lie in the same column, ${A}$ and ${D}$ are blue, and ${B}$ and ${C}$ are red. Determine the largest possible number of different pretty sets on such a board.
    6. Find all functions ${f : (0, +\infty) \to \mathbb R}$ satisfying $$f(x) - f(x+ y) = f \left( \frac{x}{y}\right) f(x + y),\,\forall x, y > 0.$$
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    Chuyên đề trình bày về một cách đổi biến đặc biệt, được giới thiệu trong quyển Problems from the book. Đồng thời, khai thác và mở rộng để tăng phạm vi ứng dụng cho phương pháp này.

    Đề tài nghiên cứu này đề cập đến một phương pháp nhỏ, rất cơ bản trong chứng minh bất đẳng thức. Đó là phương pháp đổi biến (hay thường được gọi là đặt ẩn phụ). Nhưng trong chuyên đề này, chúng ta sẽ không thảo luận tất cả các cách, các phương pháp đổi biến, mà chỉ thảo luận riêng về một cách đổi biến trong số các cách đó mà thôi. Tuy nhiên, để mở ra cái nhìn rộng hơn cho đề tài, chúng tôi sẽ dành phần cuối trong chuyên đề này để tổng hợp các cách đổi biến hay trong giải toán đại số nói chung và trong chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Và thêm một phần nữa để nêu ra một sốbài toán hay có thể sử dụng phương pháp này để giải. Cũng để phân biệt rõ ràng với các phương pháp khác, chúng tôi sẽ gọi đối tượng nghiên cứu trong chuyên đề này là cách đổi biến $X$. Ký hiệu này được sử dụng chung cho toàn bộ chuyên đề.

    Vấn đề về phạm vi hay khả năng ứng dụng của một phương pháp, một kỹ thuật chứng minh thường được quan tâm đến rất nhiều. Chẳng hạn đối với một phương pháp, kỹ thuật nào đó, ta thường quan tâm để phạm vi ứng dụng của nó. Nó có thể giải được những bài toán như thế nào?. Giải được nhiều bài toán hay không? Có thể đối phó được các bài toán khó haykhông? Đối với bài toán như thể nào thì phương pháp đó trở nên vô dụng? Rất nhiều câu hỏi! Rõ ràng chúng ta đang quan tâm đến sự hiệu quả và phạm vi ứng dụngcủa một phương pháp. Trong chuyên đề này, chúng tôi cũng hết sức quan tâm vấn đề đó. Đối với mảng đặc biệt như bất đẳng thức. Phương pháp nào cũng mang tính tương đối cả. Tùy vào bài toán cụ thể, mỗi phương pháp sẽ có hiệu quả nhất định. Có nhiều bài toán khó, phải sử dụng đến phương pháp hiện đại mới có thể giải quyết được, trong khi các phương pháp truyền thống thì chẳng giúp được gì. Nhưng lại có những bài toán khác, chỉ có thể sử dụng phương pháp truyền thống mớicó thể cho một lời giải ngắn và đẹp được, trong khi các phương pháp hiện đại trở nên vụng về và nặng nề về tính toán. Tất cả đều mang tính tuyệt đối! Quan trọng là chúng ta sử dụng các phương pháp đó như thể nào?. Một tư tưởng nhỏ của chuyên đề này mà chúng tôi muốn thể hiện, đó làcải tiếnnhững phương pháp đã có, để tăng hiệu quả, và phạm vi ứng dụng. Mục đích của chúng tôi là
    1. Cải tiến những công cụ đơn giản.
    2. Xây dựng công cụ mới từ những công cụ đã có.
    Với hai mục đích này, chúng tôi sẽ cải tiến, tức là mở rộng và tổng quát mộtcách đổi biến đã được giới thiệu trong Problems from the book để mở rộng phạm vi ứng dụng cho nó. Tiếp theo, từ cách đổi biến này, chúng tôi sẽ xây dựng một số phương pháp, kỹ thuật chứng minh mới. Suốt chuyên đề, các nhận xét sẽ giúp mọi người theo dõi hiệu quả và phạm vi ứng dụng của từng đối tượng được trình bày. 
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan
    1. Let $P$ be a non-degenerate polygon with $n$ sides, where $n > 4$. Prove that there exist three distinct vertices $A, B, C$ of $P$ with the following property:If $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ are the lengths of the three polygonal chains into which $A, B, C$ break the perimeter of $P$, then there is a triangle with side lengths $\ell_1,\ell_2$ and $\ell_3$.
      Remark: By a non-degenerate polygon we mean a polygon in which every two sides are disjoint, apart from consecutive ones, which share only the common endpoint.
    2. Let $m,n > 2$ be even integers. Consider a board of size $m \times n$ whose every cell is colored either black or white. The Guesser does not see the coloring of the board but may ask the Oracle some questions about it. In particular, she may inquire about two adjacent cells (sharing an edge) and the Oracle discloses whether the two adjacent cells have the same color or not. The Guesser eventually wants to find the parity of the number of adjacent cell-pairs whose colors are different. What is the minimum number of inquiries the Guesser needs to make so that she is guaranteed to find her answer?.
    3. Let $n$ be a positive integer. For a finite set $M$ of positive integers and each $i \in \{0,1,..., n-1\}$, we denote $s_i$ the number of non-empty subsets of $M$ whose sum of elements gives remainder $i$ after division by $n$. We say that $M$ is "$n$-balanced" if $s_0 = s_1 =....= s_{n-1}$. Prove that for every odd number $n$ there exists a non-empty $n$-balanced subset of $\{0,1,..., n\}$. (For example if $n = 5$ and $M = \{1,3,4\}$, we have $s_0 = s_1 = s_2 = 1$, $s_3 = s_4 = 2$ so $M$ is not $5$-balanced.)
    4. Find all quadruplets $(a, b, c, d)$ of real numbers satisfying the system $$(a + b)(a^2 + b^2) = (c + d)(c^2 + d^2)$$ $$(a + c)(a^2 + c^2) = (b + d)(b^2 + d^2)$$ $$(a + d)(a^2 + d^2) = (b + c)(b^2 + c^2)$$
    5. Prove that for every non-negative integer $n$ there exist integers $x, y, z$ with $\gcd(x, y, z) = 1$, such that $x^2 + y^2 + z^2 = 3^{2^n}$
    6. Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB < AC$. Tangent to its circumcircle $\Omega$ at $A$ intersects the line $BC$ at $D$. Let $G$ be the centroid of $\triangle ABC$ and let $AG$ meet $\Omega$ again at $H \neq A$. Suppose the line $DG$ intersects the lines $AB$ and $AC$ at $E$ and $F$, respectively. Prove that $\angle EHG = \angle GHF$.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan

    Algebra

    1. Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $$a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7.$$ Prove that $$\sqrt{a^2 + b^2 + 2 }+\sqrt{b^2 + c^2 + 2 }+\sqrt{c^2 + a^2 + 2 } \ge 6.$$
    2. Let $a$ and $b$ be positive real numbers such that $$3a^2 + 2b^2 = 3a + 2b.$$ Find the minimum value of $$A =\sqrt{\frac{a}{b(3a+2)}} + \sqrt{\frac{b}{a(2b+3)}}$$
    3. Let $a\le b\le c \le d$. Show that $$ab^3+bc^3+cd^3+da^3\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2$$
    4. Let $x,y,z$ be positive integers such that $x\neq y\neq z \neq x$. Prove that $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ When does the equality hold?

    Combinatorics

    1. Consider a regular $2n + 1$-gon $P$ in the plane, where n is a positive integer. We say that a point $S$ on one of the sides of $P$ can be seen from a point $E$ that is external to $P$, if the line segment $SE$ contains no other points that lie on the sides of $P$ except $S$. We want to color the sides of $P$ in $3$ colors, such that every side is colored in exactly one color, and each color must be used at least once. Moreover, from every point in the plane external to $P$, at most $2$ different colors on $P$ can be seen (ignore the vertices of $P$, we consider them colorless). Find the largest positive integer for which such a coloring is possible.
    2. Consider a regular $2n$-gon $ P$, $A_1,A_2,\cdots ,A_{2n}$ in the plane where $n$ is a positive integer. We say that a point $S$ on one of the sides of $P$ can be seen from a point $E$ that is external to $P$ if the line segment $SE$ contains no other points that lie on the sides of $P$ except $S$. We color the sides of $P$ in $3$ different colors (ignore the vertices of $P$, we consider them colorless), such that every side is colored in exactly one color, and each color is used at least once. Moreover ,from every point in the plane external to $P$, points of most $2$ different colors on $P$ can be seen .Find the number of distinct such colorings of $P$ (two colorings are considered distinct if at least one of sides is colored differently).
    3. We have two piles with $2000$ and $2017$ coins respectively. Ann and Bob take alternate turns making the following moves: The player whose turn is to move picks a pile with at least two coins, removes from that pile $t$ coins for some $2\le t \le 4$, and adds to the other pile $1$ coin. The players can choose a different $t$ at each turn, and the player who cannot make a move loses. If Ann plays first determine which player has a winning strategy.

    Geometry

    1. Given a parallelogram $ABCD$. The line perpendicular to $AC$ passing through $C$ and the line perpendicular to $BD$ passing through $A$ intersect at point $P$. The circle centered at point $P$ and radius $PC$ intersects the line $BC$ at point $X$, ($X \ne C$) and the line $DC$ at point $Y$ ($Y \ne C$). Prove that the line $AX$ passes through the point $Y$ .
    2. Let $ABC$ be an acute triangle such that $AB$ is the shortest side of the triangle. Let $D$ be the midpoint of the side $AB$ and $P$ be an interior point of the triangle such that $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$. Denote by M and $N$ the feet of the perpendiculars from $P$ to $BC$ and $AC$, respectively. Let $p$ be the line through $ M$ parallel to $AC$ and $q$ be the line through $N$ parallel to $BC$. If $p$ and $q$ intersect at $K$ prove that $D$ is the circumcenter of triangle $MNK$.
    3. Consider triangle $ABC$ such that $AB \le AC$. Point $D$ on the arc $BC$ of thecircumcirle of $ABC$ not containing point $A$ and point $E$ on side $BC$ are such that $\angle BAD = \angle CAE < \frac12 \angle BAC$. Let $S$ be the midpoint of segment $AD$. Prove that if $\angle ADE = \angle ABC - \angle ACB$ then $\angle BSC = 2 \angle BAC$.
    4. Let $ABC $ be an acute triangle such that $AB\neq AC$ with circumcircle $ \Gamma$ and circumcenter $O$. Let $M$ be the midpoint of $BC$ and $D$ be a point on $ \Gamma$ such that $AD \perp BC$. Let $T$ be a point such that $BDCT$ is a parallelogram and $Q$ a point on the same side of $BC$ as $A$ such that $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ and $\angle{CQM}=\angle{CBA}$. Let the line $AO$ intersect $ \Gamma$ at $E$ $(E\neq A)$ and let the circumcircle of $\triangle ETQ$ intersect $ \Gamma$ at point $X\neq E$. Prove that the point $A$, $M$ and $X$ are collinear.
    5. A point $P$ lies in the interior of the triangle $ABC$. The lines $AP, BP$, and $CP$ intersect $BC$, $CA$, and $AB$ at points $D$, $E$, and $F$, respectively. Prove that if two of the quadrilaterals $ABDE$, $BCEF$, $CAFD$, $AEPF$, $BFPD$, and $CDPE$ are concyclic, then all six are concyclic.

    Number Theory

    1. Determine all the sets of six consecutive positive integers such that the product of some two of them added to the product of some other two of them is equal to the product of the remaining two numbers.
    2. Determine all positive integers $n$ such that $$n^2 \mid (n - 1)!$$
    3. Find all pairs of positive integers $(x,y)$ such that $2^x + 3^y$ is a perfect square.
    4. Solve in nonnegative integers the equation $$5^t + 3^x4^y = z^2.$$
    5. Find all positive integers $n$ such that there exists a prime number $p$, such that $p^n-(p-1)^n$ is a power of $3$. (A power of $3$ is a number of the form $3^a$ where $a$ is a positive integer.)
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan

    Algebra

    1. Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $abc = 8$. Prove that $$\frac{ab + 4}{a + 2}+\frac{bc + 4}{b + 2}+\frac{ca + 4}{c + 2}\ge 6.$$
    2. Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that $$\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c ^2 \\ \ge \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}$$
    3. Find all the pairs of integers $ (m, n)$ such that $$\sqrt {n +\sqrt {2016}} +\sqrt {m-\sqrt {2016}} \in \mathbb {Q}.$$
    4. If the non-negative reals $x,y,z$ satisfy $x^2+y^2+z^2=x+y+z$. Prove that $$\displaystyle\frac{x+1}{\sqrt{x^5+x+1}}+\frac{y+1}{\sqrt{y^5+y+1}}+\frac{z+1}{\sqrt{z^5+z+1}}\geq 3.$$ When does the equality occur?
    5. Let $x,y,z$ be positive real numbers such that $$x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$$ Prove that \[x+y+z\geq \sqrt{\frac{xy+1}{2}}+\sqrt{\frac{yz+1}{2}}+\sqrt{\frac{zx+1}{2}} \ .\]

    Combinatorics

    1. Let $S_n$ be the sum of reciprocal values of non-zero digits of all positive integers up to (and including) $n$. For instance, $$S_{13} = \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{9}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{1}+ \frac{1}{3}.$$ Find the least positive integer $k$ making the number $k!\cdot S_{2016}$ an integer.
    2. The natural numbers from $1$ to $50$ are written down on the blackboard. At least how many of them should be deleted, in order that the sum of any two of the remaining numbers is not a prime?
    3. A $5 \times 5$ table is called regular if each of its cells contains one of four pairwise distinct real numbers, such that each of them occurs exactly one in every $2 \times 2$ subtable. The sum of all numbers of a regular table is called the total sum of the table. With any four numbers, one constructs all possible regular tables, computes their total sums and counts the distinct outcomes.Determine the maximum possible count.
    4. A splitting of a planar polygon is a finite set of triangles whose interiors are pairwise disjoint, and whose union is the polygon in question. Given an integer $n \ge 3$, determine the largest integer $m$ such that no planar $n$-gon splits into less than $m$ triangles.

    Geometry

    1. Let ${ABC}$ be an acute angled triangle, let ${O}$ be its circumcentre, and let $D$, $E$, $F$ be points on the sides $BC$, $CA$, $AB$, respectively. The circle ${(c_1)}$ of radius ${FA}$, centered at ${F}$, crosses the segment ${OA}$ at ${A'}$ and the circumcircle ${(c)}$ of the triangle ${ABC}$again at ${K}$. Similarly, the circle ${(c_2)}$ of radius $DB$, centered at $D$, crosses the segment $\left( OB \right)$ at ${B}'$ and the circle ${(c)}$ again at ${L}$. Finally, the circle ${(c_3)}$ of radius $EC$, centered at $E$, crosses the segment $\left( OC \right)$at ${C}'$ and the circle ${(c)}$ again at ${M}$. Prove that the quadrilaterals $BKF{A}'$, $CLD{B}'$ and $AME{C}'$ are all cyclic, and their circumcircles share a common point.
    2. Let ${ABC}$ be a triangle with $\angle BAC={{60}^{{}^\circ }}$. Let $D$ and $E$ be the feet of the perpendiculars from ${A}$ to the external angle bisectors of $\angle ABC$ and $\angle ACB$, respectively. Let ${O}$ be the circumcenter of the triangle ${ABC}$. Prove that the circumcircles of the triangles ${ADE}$and ${BOC}$ are tangent to each other.
    3. A trapezoid $ABCD$ ($AB || CF$, $AB > CD$) is circumscribed. The incircle of the triangle $ABC$ touches the lines $AB$ and $AC$ at the points $M$ and $N$, respectively. Prove that the incenter of the trapezoid $ABCD$ lies on the line $MN$.
    4. Let ${ABC}$ be an acute angled triangle whose shortest side is ${BC}$. Consider a variable point ${P}$ on the side ${BC}$, and let ${D}$ and ${E}$ be points on ${AB}$ and ${AC}$, respectively, such that ${BD=BP}$ and ${CP=CE}$. Prove that, as ${P}$ traces ${BC}$, the circumcircle of the triangle ${ADE}$ passes through a fixed point.
    5. Let $ABC$ be an acute angled triangle with orthocenter ${H}$ and circumcenter ${O}$. Assume the circumcenter ${X}$ of ${BHC}$lies on the circumcircle of ${ABC}$. Reflect O across ${X}$ to obtain ${O'}$, and let the lines ${XH}$ and ${O'A}$ meet at ${K}$. Let $L,M$ and $N$ be the midpoints of $\left[ XB \right]$, $\left[ XC \right]$ and $\left[ BC \right]$, respectively. Prove that the points $K$, $L$, $M$ and $K$, $L$, $M$, $N$ are cocyclic.
    6. Given an acute triangle ${ABC}$, erect triangles ${ABD}$ and ${ACE}$ externally, so that $\angle ADB= \angle AEC=90^\circ$ and $\angle BAD= \angle CAE$. Let ${{A}_{1}}\in BC$, ${{B}_{1}}\in AC$ and ${{C}_{1}}\in AB$ be the feet of the altitudes of the triangle ${ABC}$, and let $K$ and $K$, $L$ be the midpoints of $[ B{{C}_{1}} ]$ and ${BC_1, CB_1}$, respectively. Prove that the circumcenters of the triangles $AKL$, ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ and ${DEA_1}$ are collinear.
    7. Let ${AB}$ be a chord of a circle ${(c)}$ centered at ${O}$, and let ${K}$ be a point on the segment ${AB}$ such that ${AK<BK}$. Two circles through ${K}$, internally tangent to ${(c)}$ at ${A}$ and ${B}$, respectively, meet again at ${L}$. Let ${P}$ be one of the points of intersection of the line ${KL}$and the circle ${(c)}$, and let the lines ${AB}$and ${LO}$meet at ${M}$. Prove that the line ${MP}$is tangent to the circle ${(c)}$.

    Number Theory

    1. Determine the largest positive integer $n$ that divides $p^6 - 1$ for all primes $p > 7$.
    2. Find the maximum number of natural numbers $x_1,x_2, ... , x_m$ satisfying the conditions
      • No $x_i - x_j , 1 \le i < j \le m$ is divisible by $11$, and
      • The sum $x_2x_3 ...x_m + x_1x_3 ... x_m + \cdot \cdot \cdot + x_1x_2... x_{m-1}$ is divisible by $11$.
    3. Find all positive integers $n$ such that the number $A_n =\frac{ 2^{4n+2}+1}{65}$ is
      a) an integer,
      b) a prime.
    4. Find all triplets of integers $(a,b,c)$ such that the number $$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$ is a power of $2016$. (A power of $2016$ is an integer of form $2016^n$ where $n$ is a non-negative integer.)
    5. Determine all four-digit numbers $\overline{abcd} $ such that $$(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) =\overline{abcd}$$
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan

    Algebra

    1. Let $x$, $y$, $z$ be real numbers, satisfying the relations $x \ge 20$, $y \ge 40$, $z \ge 1675$ and $x + y + z = 2015$. Find the greatest value of the product $P = xy z$
    2. Assume that $x$ satisfies $$x^3-3\sqrt3 x^2 +9x - 3\sqrt3 -64=0.$$ Find the value of $$x^6-8x^5+13x^4-5x^3+49x^2-137x+2015.$$
    3. Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that $$\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>2.$$
    4. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $a+b+c = 3$. Find the minimum value of the expression \[A=\dfrac{2-a^3}a+\dfrac{2-b^3}b+\dfrac{2-c^3}c.\]
    5. The positive real $x, y, z$ are such that $x^2+y^2+z^2 = 3$. Prove that $$\frac{x^2+yz}{x^2+yz +1}+\frac{y^2+zx}{y^2+zx+1}+\frac{z^2+xy}{z^2+xy+1}\leq 2$$

    Geometry

    1. Around the triangle $ABC$ the circle is circumscribed, and at the vertex ${C}$ tangent ${t}$ to this circle is drawn. The line ${p}$, which is parallel to this tangent intersects the lines ${BC}$ and ${AC}$ at the points ${D}$ and ${E}$, respectively. Prove that the points $A$, $B$, $D$, $E$ belong to the same circle.
    2. The point ${P}$ is outside the circle ${\Omega}$. Two tangent lines, passing from the point ${P}$ touch the circle ${\Omega}$ at the points ${A}$ and ${B}$. The median${AM \left(M\in BP\right)}$ intersects the circle ${\Omega}$ at the point ${C}$ and the line ${PC}$ intersects again the circle ${\Omega}$ at the point ${D}$. Prove that the lines ${AD}$ and ${BP}$ are parallel.
    3. Let ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ be a circle with center ${O}$ and radius ${R}$ and ${A, B}$ be two points on it, not belonging to the same diameter. The bisector of angle${\angle{ABO}}$ intersects the circle ${c}$ at point ${C}$, the circumcircle of the triangle $AOB$, say ${c_1}$ at point ${K}$ and the circumcircle of the triangle $AOC$, say ${{c}_{2}}$ at point ${L}$. Prove that point ${K}$ is the circumcircle of the triangle $AOC$ and that point ${L}$ is the incenter of the triangle $AOB$.
    4. Let $ABC$ be an acute triangle.The lines $l_1$ and $l_2$ are perpendicular to $AB$ at the points $A$ and $B$, respectively.The perpendicular lines from the midpoint $M$ of $AB$ to the lines $AC$ and $BC$ intersect $l_1$ and $l_2$ at the points $E$ and $F$, respectively. Prove that if $D$ is the intersection point of the lines $EF$ and $MC$ then \[\angle ADB = \angle EMF.\]
    5. Let $ABC$ be an acute triangle with ${AB\neq AC}$. The incircle ${\omega}$ of the triangle κύκλος touches the sides ${BC, CA}$ and ${AB}$ at ${D, E}$ and ${F}$, respectively. The perpendicular line erected at ${C}$onto ${BC}$ meets ${EF}$at ${M}$, and similarly the perpendicular line erected at ${B}$onto ${BC}$ meets ${EF}$at${N}$. The line ${DM}$ meets ${\omega}$ again in ${P}$, and the line ${DN}$ meets ${\omega}$ again at ${Q}$. Prove that ${DP=DQ}$.

    Number Theory

    1. What is the greatest number of integers that can be selected from a set of $2015$ consecutive numbers so that no sum of any two selected numbers is divisible by their difference?.
    2. A positive integer is called a repunit, if it is written only by ones. The repunit with $n$ digits will be denoted as $\underbrace{{11\cdots1}}_{n}$. Prove that a) the repunit $\underbrace{{11\cdots1}}_{n}$is divisible by $37$ if and only if $n$ is divisible by $3$. b) there exists a positive integer $k$ such that the repunit $\underbrace{{11\cdots1}}_{n}$ is divisible by $41$ if $n$ is divisible by $k$.
    3. a) Show that the product of all differences of possible couples of six given positive integers is divisible by $960$. b) Show that the product of all differences of possible couples of six given positive integers is divisible by $34560$.
    4. Find all prime numbers $a,b,c$ and positive integers $k$ satisfying the equation \[a^2+b^2+16c^2 = 9k^2 + 1.\]
    5. Check if there exists positive integers $ a, b$ and prime number $p$ such that $$a^3-b^3=4p^2$$

    Combinatorics

    1. A board $n \times n$ ($n \ge 3$) is divided into $n^2$ unit squares. Integers from $O$ to $n$ included, are written down: one integer in each unit square, in such a way that the sums of integers in each $2\times 2$ square of the board are different. Find all $n$ for which such boards exist.
    2. $2015$ points are given in a plane such that from any five points we can choose two points with distance less than $1$ unit. Prove that $504$ of the given points lie on a unit disc.
    3. Positive integers are put into the following table $$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & & \\ \hline 2 & 5 & 9 & 14 & 20 & 27 & 35 & 44 & & \\ \hline 4 & 8 & 13 & 19 & 26 & 34 & 43 & 53 & & \\ \hline 7 & 12 & 18 & 25 & 33 & 42 & & & & \\ \hline 11 & 17 & 24 & 32 & 41 & & & & & \\ \hline 16 & 23 & & & & & & & & \\ \hline ... & & & & & & & & & \\ \hline ... & & & & & & & & & \\ \hline \end{array}$$
      Find the number of the line and column where the number $2015$ stays.
    4. Let $n\ge 1$ be a positive integer. A square of side length $n$ is divided by lines parallel to each side into $n^2$ squares of side length $1$. Find the number of parallelograms which have vertices among the vertices of the $n^2$ squares of side length $1$, with both sides smaller or equal to $2$, and which have tha area equal to $2$.
    5. An $L$-shape is one of the following four pieces, each consisting of three unit squares. A $5\times 5$ board, consisting of $25$ unit squares, a positive integer $k\leq 25$ and an unlimited supply of L-shapes are given. Two players $A$ and $B$, play the following game: starting with $A$ they play alternatively mark a previously unmarked unit square until they marked a total of $k$ unit squares. e say that a placement of $L$-shapes on unmarked unit squares is called good if the L-shapes do not overlap and each of them covers exactly three unmarked unit squares of the board. $B$ wins if every good placement of $L$-shapes leaves uncovered at least three unmarked unit squares. Determine the minimum value of $k$ for which $B$ has a winning strategy.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan

    Geometry

    1. Let ${ABC}$ be a triangle with $m\left( \angle B \right)=m\left( \angle C \right)={{40}^{{}^\circ }}$ Line bisector of ${\angle{B}}$ intersects ${AC}$ at point ${D}$. Prove that $BD+DA=BC$.
    2. Acute-angled triangle ${ABC}$ with ${AB<AC<BC}$ and let be ${c(O,R)}$ it’s circumicircle. Diametes ${BD}$ and ${CE}$ are drawn. Circle ${c_1(A,AE)}$ interescts ${AC}$ at ${K}$ Circle ${{c}_{2}(A,AD)}$ intersects ${BA}$ at ${L}$ (${A}$ lies between ${B}$ and ${L}$). Prove that lines $EK$ and $DL$ intersect at circle.
    3. Consider an acute triangle $ABC$ of area $S$. Let $CD \perp AB$ ($D \in AB$), $DM \perp AC$ ($M \in AC$) and $DN \perp BC$ ($N \in BC$). Denote by $H_1$ and $H_2$ the orthocentres of the triangles $MNC$, respectively $MND$. Find the area of the quadrilateral $AH_1BH_2$ in terms of $S$.
    4. Let $ABC$ be an acute triangle such that $AB\not=AC$. Let $M$ be the midpoint $BC$, $H$ the orthocenter of $\triangle ABC$, $O_1$ the midpoint of $AH$ and $O_2$ the circumcenter of $\triangle BCH$. Prove that $O_1AMO_2$ is a parallelogram.
    5. Let $ABC$ be a triangle with ${AB\ne BC}$ and let ${BD}$ be the internal bisector of $\angle ABC$ $\left( D\in AC \right)$. Denote by ${M}$ the midpoint of the arc ${AC}$ which contains point ${B}$. The circumscribed circle of the triangle $\triangle BDM$ intersects the segment ${AB}$ at point ${K\neq B}$. Let ${J}$ be the reflection of ${A}$ with respect to ${K}$. Prove that if ${DJ\cap AM=\left\{O\right\}}$ then the points $J$, $B$, $M$, $O$ belong to the same circle.
    6. Let $ABCD$ be a quadrilateral whose diagonals are not perpendicular and whose sides $AB$ and $CD$ are not parallel.Let $O$ be the intersection of its diagonals. Denote with $H_1$ and $H_2$ the orthocenters of triangles $AOB$ and $COD$, respectively. If $M$ and $N$ are the midpoints of the segment lines $AB$ and $CD$, respectively. Prove that the lines $H_1H_2$ and $MN$ are parallel if and only if $AC=BD$.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan

    Geometry

    1. Let ${AB}$ be a diameter of a circle ${\omega}$ and center ${O}$, ${OC}$ a radius of ${\omega}$ perpendicular to $AB$, ${M}$ be a point of the segment $\left( OC \right)$. Let ${N}$ be the second intersection point of line ${AM}$ with ${\omega}$ and ${P}$ the intersection point of the tangents of ${\omega}$ at points ${N}$ and ${B.}$ Prove that points $M$, $O$, $P$, $N$ are cocyclic.
    2. Circles ${\omega_1}$, ${\omega_2}$ are externally tangent at point M and tangent internally with circle ${\omega_3}$ at points ${K}$ and $L$ respectively. Let ${A}$ and ${B}$be the points that their common tangent at point ${M}$ of circles ${\omega_1}$ and ${\omega_2}$ intersect with circle ${\omega_3.}$ Prove that if ${\angle KAB=\angle LAB}$ then the segment ${AB}$ is diameter of circle ${\omega_3.}$
    3. Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB<AC$ and let $O$ be the centre of its circumcircle $\omega$. Let $D$ be a point on the line segment $BC$ such that $\angle BAD = \angle CAO$. Let $E$ be the second point of intersection of $\omega$ and the line $AD$. If $M$, $N$ and $P$ are the midpoints of the line segments $BE$, $OD$ and $AC$, respectively, show that the points $M$, $N$ and $P$ are collinear.
    4. Let $I$ be the incenter and $AB$ the shortest side of the triangle $ABC$. The circle centered at $I$ passing through $C$ intersects the ray $AB$ in $P$ and the ray $BA$ in $Q$. Let $D$ be the point of tangency of the $A$-excircle of the triangle $ABC$ with the side $BC$. Let $E$ be the reflection of $C$ with respect to the point $D$. Prove that $PE\perp CQ$.
    5. A circle passing through the midpoint $M$ of the side $BC$ and the vertex $A$ of the triangle $ABC$ intersects the segments $AB$ and $AC$ for the second time in the points $P$ and $Q$, respectively. Prove that if $\angle BAC=60^{\circ}$ then $$AP+AQ+PQ<AB+AC+\frac{1}{2} BC.$$
    6. Let $P$ and $Q$ be the midpoints of the sides $BC$ and $CD$, respectively in a rectangle $ABCD$. Let $K$ and $M$ be the intersections of the line $PD$ with the lines $QB$ and $QA$, respectively, and let $N$ be the intersection of the lines $PA$ and $QB$. Let $X$, $Y$ and $Z$ be the midpoints of the segments $AN$, $KN$ and $AM$, respectively. Let $\ell_1$ be the line passing through $X$ and perpendicular to $MK$, $\ell_2$ be the line passing through $Y$ and perpendicular to $AM$ and $\ell_3$ the line passing through $Z$ and perpendicular to $KN$. Prove that the lines $\ell_1$, $\ell_2$ and $\ell_3$ are concurrent.
    Collection of Mathematical Olympiad. Tong hop tai lieu Toan

    Algebra

    1. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $a+b+c=1$. Prove that \[\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {c}{b} + \frac {c}{a} + \frac {b}{c} + \frac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}} + \sqrt{\frac{1-b}{b}} + \sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ).\] When does equality hold?
    2. Let $a$, $b$, $c$ be positive real numbers such that $abc=1$ . Show that \[\frac{1}{a^3+bc}+\frac{1}{b^3+ca}+\frac{1}{c^3+ab} \leq \frac{ \left (ab+bc+ca \right )^2 }{6}\]
    3. Let $a$, $b$, $c$ be positive real numbers such that $$a+b+c=a^2+b^2+c^2.$$ Prove that \[\frac{a^2}{a^2+ab}+\frac{b^2}{b^2+bc}+\frac{c^2}{c^2+ca} \geq \frac{a+b+c}{2}\]
    4. Solve the following equation for $x , y , z \in \mathbb{N}$ \[\left (1+ \frac{x}{y+z} \right )^2+\left (1+ \frac{y}{z+x} \right )^2+\left (1+ \frac{z}{x+y} \right )^2=\frac{27}{4}\]
    5. Find the largest positive integer $n$ for which the inequality \[ \frac{a+b+c}{abc+1}+\sqrt[n]{abc} \leq \frac{5}{2}\] holds true for all $a, b, c \in [0,1]$. Here we make the convention $\sqrt[1]{abc}=abc$.

    Geometry

    1. Let $ABC$ be an equilateral triangle and $P$ be a point on the circumcircle of the triangle but distinct from $A$, $B$ and $C$. The lines through $P$ and parallel to $BC$, $CA$, $AB$ intersect the lines $CA$, $AB$, $BC$ at $M$, $N$ and $Q$ respectively. Prove that $M$, $N$ and $Q$ are collinear .
    2. Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$. Let also $\omega$ be a circle of center $K$ tangent to the line $AC$ at $C$ which intersects the segment $BC$ again at $H$. Prove that $HK \bot AB $.
    3. Let $AB$ and $CD$ be chords in a circle of center $O$ with $A$, $B$, $C$, $D$ distinct, and with the lines $AB$ and $CD$ meeting at a right angle at point $E$. Let also $M$ and $N$ be the midpoints of $AC$ and $BD$ respectively. Prove that if $MN \bot OE$ then $AD \parallel BC$.
    4. Let $ABC$ be an acute-angled triangle with circumcircle $\omega$, and let $O$, $H$ be the triangle's circumcenter and orthocenter respectively. Let also $A'$ be the point where the angle bisector of the angle $BAC$ meets $\omega$. Find the measure of the angle $BAC$ if $A'H=AH$.
    5. Let the circles $k_1$ and $k_2$ intersect at two points $A$ and $B$, and let $t$ be a common tangent of $k_1$ and $k_2$ that touches $k_1$ and $k_2$ at $M$ and $N$ respectively. If $t\perp AM$ and $MN=2AM$, evaluate the angle $NMB$.
    6. Let $O_1$ be a point in the exterior of the circle $\omega$ of center $O$ and radius $R$, and let $O_1N$, $O_1D$ be the tangent segments from $O_1$ to the circle. On the segment $O_1N$ consider the point $B$ such that $BN=R$. Let the line from $B$ parallel to $ON$ intersect the segment $O_1D$ at $C$. If $A$ is a point on the segment $O_1D$ other than $C$ so that $BC=BA=a$, and if the incircle of the triangle $ABC$ has radius $r$, then find the area of $\triangle ABC$ in terms of $a$, $R$, $r$.
    7. Let $MNPQ$ be a square of side length $1$, and $A$, $B$, $C$, $D$ points on the sides $MN$, $NP$, $PQ$ and $QM$ respectively such that $AC \cdot BD=\dfrac{5}{4}$. Can the set $ \{AB , BC , CD , DA \}$ be partitioned into two subsets $S_1$ and $S_2$ of two elements each so that each one has the sum of his elements a positive integer?.

    Combinatorics

    1. Along a round table are arranged $11$ cards with the names ( all distinct ) of the $11$ members of the $16^{th}$ JBMO Problem Selection Committee. The cards are arranged in a regular polygon manner. Assume that in the first meeting of the Committee none of its $11$ members sits in front of the card with his name. Is it possible to rotate the table by some angle so that at the end at least two members sit in front of the card with their names?.
    2. On a board there are $n$ nails, each two connected by a rope. Each rope is colored in one of $n$ given distinct colors. For each three distinct colors, there exist three nails connected with ropes of these three colors. a) Can $n$ be $6$?. b) Can $n$ be $7$?.
    3. In a circle of diameter $1$ consider $65$ points, no three of them collinear. Prove that there exist three among these points which are the vertices of a triangle with area less than or equal to $\dfrac{1}{72}$.

    Number Theory

    1. let $a$, $b$ be integers and $$s=a^3+b^3-60ab(a+b)\geq 2012.$$ Find the least possible value of $s$.
    2. Do there exist prime numbers $p$ and $q$ such that $$p^2(p^3-1)=q(q+1)$$
    3. Decipher the equality \[(\overline{VER}-\overline{IA})=G^{R^E} (\overline {GRE}+\overline{ECE}) \] assuming that the number $\overline {GREECE}$ has a maximum value. Each letter corresponds to a unique digit from $0$ to $9$ and different letters correspond to different digits. It's also supposed that all the letters $G$, $E$, $V$ and $I$ are different from $0$.
    4. Determine all triples $(m , n , p)$ satisfying \[n^{2p}=m^2+n^2+p+1\] where $m$ and $n$ are integers and $p$ is a prime number.
    5. Find all positive integers $x,y,z$ and $t$ such that $$2^x3^y+5^z=7^t.$$
    6. Let $a$, $b$, $c$, $d$ be integers and $$\begin{align*}A&=2(a-2b+c)^4+2(b-2c+a)^4+2(c-2a+b)^4,\\ B&=d(d+1)(d+2)(d+3)+1.\end{align*}$$ Prove that $\left (\sqrt{A}+1 \right )^2 +B$ cannot be a perfect square.
    7. Find all $a , b , c \in \mathbb{N}$ for which \[1997^a+15^b=2012^c\]