1. Giải phương trình $$\begin{cases} y^2+3xy+2y&=(3x+2)\sqrt{-3x-2}+y\sqrt{-3x-2} \\ x^3+3x^2+12x+6&=(3x-1)y \end{cases}.$$
  2. Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $$u_{1}=2017,\quad u_{n+1}=2017u_{n}^{2}+u_n,\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ a) Chứng minh $\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n=+\infty$.
    b) Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{u_1}{u_2}+\dfrac{u_2}{u_3}+....+\dfrac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.
  3. Cho đường tròn $(O;R)$ có dây $AB$ cố định không phải là đường kính, điểm $C$ di động trên đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $CH$.
    a) Tìm quỹ tích của $E$.
    b) Vẽ tam giác đều $CHM$ với $M$, $B$ nằm cùng phía với đường thẳng $CH$. Chứng minh rằng điểm $M$ di động trên một đường tròn cố định.
  4. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $$P(2017)=C_{2017}^{5},\quad xP(x+1)=(x-5)P(x),\,\forall x\in \mathbb R.$$
  5. Cho phương trình $x^3-3xy^2+y^3=n$ với $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình có một cặp nghiệm nguyên $(x,y)$ thì nó có ít nhất ba cặp nghiệm nguyên phân biệt.
  6. Cho $100$ số nguyên dương, không lớn hơn $100$ (không nhất thiết phải khác nhau) có tổng bằng $200$. chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn đưuọc một số số có tổng bằng $100$.

Post A Comment:

0 comments: