[Đáp Án] Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên Tỉnh Lai Châu 2017-2018

  1. Cho biểu thức $$A = \dfrac{3x + 3\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1}.$$ a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn các biểu thức $A$.
    b) Tìm $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên.
  2. a) Giải hệ phương trình sau $$\begin{cases}x^2 + xy - 2y + 3 &= 0\\y^2 + xy - 3x - y - 1 &= 0\end{cases}.$$ b) Trong $4$ đồng tiền có ba đồng tiền thật có khối lượng như nhau và một đồng tiền giả có khối lượng khác. Làm thế nào để tìm được đồng tiền giả bằng hai lần cân. (cân thăng bằng hai đĩa, không có quả cân).
  3. Cho phương trình tham số $m$ sau $$\big(3m - 1\big)x^2 + 2\big(m + 1\big)x - m + 2 = 0.$$ a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
    b) Gọi $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$ không phụ thuộc vào tham số $m$.
  4. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ cố định nằm ngoài $(O)$. Kẻ tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Gọi $M$ là một điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$). Đường thẳng $AM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $N$. Gọi $E$ là trung điểm của $MN$.
    a) Chứng minh rằng bốn điểm $A$, $B$, $O$, $E$ thuộc một đường tròn.
    b) Chứng minh $2\widehat{BNC} + \widehat{BAC} = 180^0$.
    c) Chứng minh $AC^2 = AM.AN$ và $MN^2 = 4\big(AE^2 - AC^2\big)$.
    d) Gọi $I$, $J$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên cạnh $AB$ và $AC$. Xác định vị trí của $M$ sao cho tích $MI.MJ$ đạt giá trị lớn nhất.
  5. Cho $a$, $b$, $c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{\big(ab + 2\big)\big(2ab + 1\big)} + \dfrac{b^2}{\big(bc + 2\big)\big(2bc + 1\big)} + \dfrac{c^2}{\big(ca + 2\big)\big(2ca + 1\big)}\geq \dfrac{1}{3}$$

No comments