1. Tìm tất cả các số nguyên $a \ne 1$ sao cho $A=\dfrac{a^6-1}{a-1}$ là số chính phương.
  2. Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $ P(0)=1 $ và $$P(x^2+1)=P(x)^2+2xP(x)\quad \forall x \in \mathbb{R}$$
  3. Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Điểm $ P $ di chuyển trên cạnh $ BC $. Lấy các điểm $ Q $ và $ R $ sao cho $ PQ \perp CA$, $CQ \perp BC$, $PR \perp AB$, $BR \perp BC $.
    a) Chứng minh rằng đường thẳng $QR $ đi qua $ H $.
    b) Chứng minh rằng đường thẳng qua $ P $ vuông góc với $ QR $ luôn đi qua một điểm cố định khi $ P $ thay đổi.
  4. Cho $ a$, $b$, $c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{a^2+bc}{a(b+c)}}+\sqrt{\dfrac{b^2+ca}{b(c+a)}}+\sqrt{\dfrac{c^2+ab}{c(a+b)}}+\sqrt{\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 4 $$
  5. Cho dãy số nguyên dương $ (a_n) $ thỏa mãn $a_{n+1}=a_n^3+4a_n$ với mọi $ n \ge 1 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1$ để $ a_{2018}+2018 $ chia hết cho $ 57 $.
  6. Cho tam giác $ ABC $ nhọn có trực tâm $ H $. Các điểm $ E$, $F $ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $ CA$, $AB $ sao cho $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BHC $. $ K $ là tâm ngoại tiếp tam giác $ AEF $. $ KC$, $KB $ lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ KAE$, $KAF $ theo thứ tự tại $ M$, $N $ khác $ K $. Chứng minh rằng $ EF $ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ AMN $.
  7. Cho $ n \ge 3 $ là số nguyên dương. Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, giả sử tồn tại một đa giác lồi $ n $ cạnh thỏa mãn các điều kiện sau:
    • Mỗi đỉnh của đa giác có hoành độ, tung độ là các số hữu tỉ.
    • Tất cả $ n $ cạnh của đa giác có độ dài bằng nhau.
    Chứng minh rằng $ n $ là số chẵn.

Post A Comment:

0 comments: