[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Bắc Ninh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019

  1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $$\begin{cases}\dfrac{2xy}{x+y}+\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}&=\dfrac{2\sqrt{xy}+x+y}{2} \\ \log_{2+\sqrt 5}(x^2-2y-11) &= \log_{2\sqrt{2 + \sqrt 5}}(y^2-2x-12)\end{cases}$$
  2. Cho dãy số thực $(a_n)$ xác định bởi $$a_1 = 1,\quad a_{n + 1} = \frac{1}{a_1+a_2+\ldots+a_n}-\sqrt 2,\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy $(b_n)$ xác định bởi $b_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$, $\forall n\in\mathbb N^*$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
  3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
    a) Gọi $I$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$; $B_1$, $C_1$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$, $C$ của tam giác $ABC$. Đường thẳng $IK$ cắt $B_1 C_1$ tại $U$, đường thẳng $OH$ cắt $IK$ tại $V$. Chứng minh rằng $V$ là trực tâm tam giác $AHU$.
    b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$, $T$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ với đường thẳng $BC$, $P$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên đường thẳng $TM$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $MP$ nằm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$. (Đường tròn Euler của tam giác $ABC$ là đường tròn qua $9$ điểm gồm trung điểm các cạnh, chân đường cao và trung điểm của các đoạn thẳng nối các đỉnh với trực tâm tam giác $ABC$.)
  4. a) Tìm tất cả các hàm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn $$f(xf(y)+x^2)+xy+f^2(x),\,\forall x,y\in\mathbb R.$$ b) Tìm đa thức hệ số nguyên $P ( x )$ thỏa mãn tính chất $P (2^n )$ chia hết cho $n$, với mọi số nguyên dương $n$.
  5. Cho tam giác nhọn $ABC$, không cân, nội tiếp đường tròn $w$. Đường tròn $w '$ thay đổi đi qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$ $(E , F \ne A )$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt lại đường tròn $w$ tại $K$ $( A \ne K )$. $KE$, $KF$ lần lượt cắt lại đường tròn $w$ tại $Q$, $P$ $( P , Q \ne K )$. Gọi $T$ là giao điểm của $BQ$ và $CP$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BF$, $CE$.
    a) Chứng minh rằng $T$ thuộc một đường thẳng cố định khi đường tròn $w '$ thay đổi.
    b) Chứng minh rằng $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.
  6. a) Với $p$ là số nguyên tố, đặt $n = \dfrac{2^{2p}-1}{3}$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2^n - 2$ không chia hết cho $n$.
    b) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $( m ; n )$ thỏa mãn phương trình $$m^2 + (3 - 2^{n + 1}) m + 2(3^n - 2^n + 1) = 0.$$
  7. a) Có $4$ cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một ghế dài. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn.
    b) Có $n$ $(n\in\mathbb N, n\geq 4)$ cặp vợ chồng tham dự buổi dạ tiệc. Biết rằng mỗi người đều có thể trò chuyện với tất cả những người khác, trừ vợ hoặc chồng mình. Các cuộc trò chuyện lập thành các nhóm người $C_1 , C_2 , \ldots C_k$ với tính chất sau: Không có một cặp vợ chồng nào ở trong cùng một nhóm và hai người bất kì không phải vợ chồng thì đều có đúng một nhóm để họ trò chuyện. Chứng minh rằng $k \geq 2 n$.
0 Print

No comments:

Post a Comment

Statictis