1. Cho dãy số $({{a}_{n}})$, $({{b}_{n}})$ xác định bởi ${{a}_{0}},{{b}_{0}}\in \mathbb{R}$ và với mỗi $n\ge 0$, các số hạng ${{a}_{n+1}}$, ${{b}_{n+1}}$ được xác định theo ${{a}_{n}}$, ${{b}_{n}}$ bởi một trong hai cách
    • ${{a}_{n+1}}=\dfrac{2018{{a}_{n}}}{2019}$, $b_{n+1}=1-\dfrac{{{a}_{n}}}{2019}$ hoặc 
    • ${{a}_{n+1}}=a_{n}^{2}$, ${{b}_{n+1}}={{a}_{n}}$.
    a) Chứng minh rằng nếu ${{a}_{0}}\in (-1;1)$ thì dãy số $({{a}_{n}})$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
    b) Giả sử ${{a}_{2018}}\le {{a}_{0}},$ tìm giá trị lớn nhất của tổng $$S={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots +{{b}_{2018}}.$$
  2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một đường tròn $({O}')$ thay đổi, luôn đi qua $B$, $C$ và cắt các cạnh $AB$, $AC$ theo thứ tự ở $D$, $E$. Gọi ${D}'$, ${E}'$ lần lượt là các điểm đối xứng với $D$, $E$ qua trung điểm các cạnh $AB$, $AC$.
    a) Chứng minh rằng trung điểm ${D}'{E}'$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
    b) Trên cung nhỏ và cung lớn $BC$ của $(O)$, lần lượt lấy các điểm $R$, $S$ sao cho $(DER)$, $(DES)$ tiếp xúc trong với $(O)$. Phân giác trong của các góc $BRC$, $BSC$ cắt nhau ở $K$. Chứng minh rằng đường tròn $(DEK)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $BC$.
  3. Đa thức $f(x)$ hệ số thực được gọi là “đẹp” nếu có thể biểu diễn thành $$f(x)={{\left( P(x) \right)}^{3}}-{{\left( Q(x) \right)}^{2}}$$ trong đó $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức hệ số thực.
    a) Chứng minh rằng $f(x)=2018{{x}^{2}}-2019$ là đa thức đẹp.
    b) Hỏi có tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc nhất là đa thức đẹp?.
  4. Một bảng ô vuông kích thước $2019\times 2019$ được phủ kín bởi các hình: chữ $L,$ vuông gồm $3$ ô, hình $2\times 2$ và chữ $Z$ gồm $4$ ô (có thể xoay hình tùy ý nhưng không được đè lên nhau).
    a) Hỏi có thể phủ được bảng hay không nếu không sử dụng hình vuông $2\times 2$ nào?.
    b) Chứng minh rằng trong mọi cách phủ, ta đều cần dùng ít nhất $4039$ hình chữ $L$.
  5. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $$0<z\le y\le x\le 8,\quad 3x+4y\ge \max \left\{ xy;\frac{1}{2}xyz-8z \right\}.$$ a) Chứng minh rằng $$\frac{8}{x}+\frac{6}{y}+\frac{3}{z}\ge 3.$$ b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P={{x}^{5}}+{{y}^{5}}+{{z}^{5}}.$$
  6. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$ và $D$ là trung điểm cung lớn $BC$ của $(O)$. Giả sử $K$ là một điểm nằm trong tam giác và thỏa mãn $\angle KAB=2\angle KBA$, $\angle KAC=2\angle KCA$.
    a) Chứng minh rằng $KA=KD$.
    b) Giả sử $AD$ cắt $BC$ ở $T$ và $TM$ cắt $(BMC)$ ở $R$, $TN$ cắt $(BNC)$ ở $S$. Gọi $P$ là giao điểm của $KB$ và $OM$, $Q$ là giao điểm của $KC$ và $ON$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn $(TQR)$, $(TPS)$ đi qua $O$.
  7. Với các số nguyên $a$, $b$ nguyên tố cùng nhau và $a>b>1$, xét dãy số sau $${{u}_{n}}=\varphi \left( {{a}^{2n-1}}+{{b}^{2n-1}} \right),\,\forall n\in\mathbb N^*$$ trong đó $\varphi (x)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $x$ và nguyên tố cùng nhau với $x.$
    a) Chứng minh rằng nếu $p>3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1).$
    b) Chứng minh rằng ${{u}_{1}}{{u}_{2}}\ldots {{u}_{1009}}$ chia hết cho $\dfrac{2018!}{1009!}$.

Post A Comment:

0 comments: