$type=ticker$cat=0$source=random$cols=4$count=24$b=0$hide=mobile

[Lê Phúc Lữ] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2019

  1. Cho dãy số $({{a}_{n}})$, $({{b}_{n}})$ xác định bởi ${{a}_{0}},{{b}_{0}}\in \mathbb{R}$ và với mỗi $n\ge 0$, các số hạng ${{a}_{n+1}}$, ${{b}_{n+1}}$ được xác định theo ${{a}_{n}}$, ${{b}_{n}}$ bởi một trong hai cách
    • ${{a}_{n+1}}=\dfrac{2018{{a}_{n}}}{2019}$, $b_{n+1}=1-\dfrac{{{a}_{n}}}{2019}$ hoặc 
    • ${{a}_{n+1}}=a_{n}^{2}$, ${{b}_{n+1}}={{a}_{n}}$.
    a) Chứng minh rằng nếu ${{a}_{0}}\in (-1;1)$ thì dãy số $({{a}_{n}})$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
    b) Giả sử ${{a}_{2018}}\le {{a}_{0}},$ tìm giá trị lớn nhất của tổng $$S={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots +{{b}_{2018}}.$$
  2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một đường tròn $({O}')$ thay đổi, luôn đi qua $B$, $C$ và cắt các cạnh $AB$, $AC$ theo thứ tự ở $D$, $E$. Gọi ${D}'$, ${E}'$ lần lượt là các điểm đối xứng với $D$, $E$ qua trung điểm các cạnh $AB$, $AC$.
    a) Chứng minh rằng trung điểm ${D}'{E}'$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
    b) Trên cung nhỏ và cung lớn $BC$ của $(O)$, lần lượt lấy các điểm $R$, $S$ sao cho $(DER)$, $(DES)$ tiếp xúc trong với $(O)$. Phân giác trong của các góc $BRC$, $BSC$ cắt nhau ở $K$. Chứng minh rằng đường tròn $(DEK)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $BC$.
  3. Đa thức $f(x)$ hệ số thực được gọi là “đẹp” nếu có thể biểu diễn thành $$f(x)={{\left( P(x) \right)}^{3}}-{{\left( Q(x) \right)}^{2}}$$ trong đó $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức hệ số thực.
    a) Chứng minh rằng $f(x)=2018{{x}^{2}}-2019$ là đa thức đẹp.
    b) Hỏi có tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc nhất là đa thức đẹp?.
  4. Một bảng ô vuông kích thước $2019\times 2019$ được phủ kín bởi các hình: chữ $L,$ vuông gồm $3$ ô, hình $2\times 2$ và chữ $Z$ gồm $4$ ô (có thể xoay hình tùy ý nhưng không được đè lên nhau).
    a) Hỏi có thể phủ được bảng hay không nếu không sử dụng hình vuông $2\times 2$ nào?.
    b) Chứng minh rằng trong mọi cách phủ, ta đều cần dùng ít nhất $4039$ hình chữ $L$.
  5. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $$0<z\le y\le x\le 8,\quad 3x+4y\ge \max \left\{ xy;\frac{1}{2}xyz-8z \right\}.$$ a) Chứng minh rằng $$\frac{8}{x}+\frac{6}{y}+\frac{3}{z}\ge 3.$$ b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P={{x}^{5}}+{{y}^{5}}+{{z}^{5}}.$$
  6. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$ và $D$ là trung điểm cung lớn $BC$ của $(O)$. Giả sử $K$ là một điểm nằm trong tam giác và thỏa mãn $\angle KAB=2\angle KBA$, $\angle KAC=2\angle KCA$.
    a) Chứng minh rằng $KA=KD$.
    b) Giả sử $AD$ cắt $BC$ ở $T$ và $TM$ cắt $(BMC)$ ở $R$, $TN$ cắt $(BNC)$ ở $S$. Gọi $P$ là giao điểm của $KB$ và $OM$, $Q$ là giao điểm của $KC$ và $ON$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn $(TQR)$, $(TPS)$ đi qua $O$.
  7. Với các số nguyên $a$, $b$ nguyên tố cùng nhau và $a>b>1$, xét dãy số sau $${{u}_{n}}=\varphi \left( {{a}^{2n-1}}+{{b}^{2n-1}} \right),\,\forall n\in\mathbb N^*$$ trong đó $\varphi (x)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $x$ và nguyên tố cùng nhau với $x.$
    a) Chứng minh rằng nếu $p>3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1).$
    b) Chứng minh rằng ${{u}_{1}}{{u}_{2}}\ldots {{u}_{1009}}$ chia hết cho $\dfrac{2018!}{1009!}$.

COMMENTS

[KỶ YẾU / HỘI THẢO]_$type=list$source=random$cate=0$s=0$m=0$c=8$p=1$d=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,2,Albania,2,American Mathematical Monthly,2,AMM,1,Amsterdam,8,Ấn Độ,1,An Giang,16,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,16,Arabia,1,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,44,Bắc Bộ,23,Bắc Giang,40,Bạc Liêu,7,Bắc Ninh,34,Bắc Trung Bộ,8,Bài Toán Hay,3,Balkan,29,Baltic Way,29,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,77,BDHSG,14,Bến Tre,21,Benelux,11,Bình Định,36,Bình Dương,18,Bình Phước,20,Bình Thuận,25,Birch,1,Bosnia Herzegovina,2,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bulgaria,5,BxMO,10,Cà Mau,12,Cần Thơ,12,Canada,63,Cao Bằng,5,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,30,Chọn Đội Tuyển,274,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,104,Chuyên Sư Phạm,28,Collection,8,College Mathematics Journal,1,Concours,1,Cono Sur,1,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,CPS,4,Crux,2,Đà Nẵng,36,Đa Thức,2,Đại Số,31,Đắk Lắk,48,Đắk Nông,4,Đan Phượng,1,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1957,Đề Thi HSG,1108,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,5,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,3,Đồng Nai,42,Đồng Tháp,40,Đức,1,E-Book,19,EGMO,12,ELMO,17,EMC,7,Estonian,5,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,21,GDTX,3,Geometry,5,Gia Lai,20,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,21,Hà Nội,151,Hà Tĩnh,60,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,41,Hải Phòng,36,Hàn Quốc,4,Hậu Giang,3,Hilbert,1,Hình Học,49,HKUST,6,Hòa Bình,12,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,Hong Kong,1,HongKong,6,HSG 10,86,HSG 11,63,HSG 12,469,HSG 9,309,HSG Cấp Trường,64,HSG Quốc Gia,86,HSG Quốc Tế,13,Hứa Lâm Phong,1,Huế,30,Hùng Vương,25,Hưng Yên,24,Hy Lạp,1,IMC,23,IMO,40,India,37,Inequality,13,International,208,Iran,4,Jakob,1,JBMO,16,Journal,16,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,10,KHTN,46,Kiên Giang,26,Kon Tum,17,Kvant,2,Kỷ Yếu,37,Lai Châu,3,Lâm Đồng,20,Lạng Sơn,17,Langlands,1,Lào Cai,9,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,4,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Long An,33,Lớp 10,8,Lớp 10 Chuyên,342,Lớp 10 Không Chuyên,140,Lớp 11,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Macedonian,1,Malaysia,1,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today Magazine,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MEMO,9,Metropolises,3,Mexico,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,7,MYM,74,MYTS,1,Nam Định,26,Nam Phi,1,National,177,Nesbitt,1,Nghệ An,43,Ngô Bảo Châu,1,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,2,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,4,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,4,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,7,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,23,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,1,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,2,Nhóm Toán,3,Ninh Bình,36,Ninh Thuận,13,Nội Suy Lagrange,1,Nội Suy Newton,1,Nordic,18,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,87,Olympic 10/3,3,Olympic 11,79,Olympic 12,27,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,56,Olympic KHTN,5,Olympic Sinh Viên,63,Olympic Toán,258,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippine,1,Philippines,4,Phú Thọ,24,Phú Yên,21,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,26,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Problems,1,PT-HPT,32,PTNK,37,Putnam,24,Quảng Bình,37,Quảng Nam,26,Quảng Ngãi,29,Quảng Ninh,32,Quảng Trị,17,Riemann,1,RMM,11,Romania,8,Romanian Mathematical Magazine,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,79,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi,2,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,19,Shortlists,35,Simon Singh,1,Singapore,1,Số học,38,Sóc Trăng,7,Sơn La,10,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,15,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,24,Thái Bình,33,Thái Nguyên,31,Thanh Hóa,46,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,4,Thomas J. Mildorf,1,THPTQG,11,THTT,7,Tiền Giang,16,Titu Andreescu,2,Tổ hợp,7,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,20,Toán Tuổi Thơ,2,TOT,1,TPHCM,99,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,32,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,8,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,1,Trần Quốc Luật,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,11,Trường Đông,16,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,44,Tuyên Quang,6,Tuyển sinh,10,Tuyển Tập,33,Tuymaada,1,Undergraduate,61,USA,28,USAJMO,1,USATST,5,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,3,Viện Toán Học,1,Vietnam,2,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,23,Vĩnh Long,17,Vĩnh Phúc,55,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,8,VMO,38,VNTST,18,Võ Quốc Bá Cẩn,18,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,5,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,15,Yên Định,1,Zhautykov,10,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
Mathematical Olympiad Contests Collection: [Lê Phúc Lữ] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2019
[Lê Phúc Lữ] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2019
Mathematical Olympiad Contests Collection
https://www.molympiad.ml/2018/12/le-phuc-lu-bai-tap-luyen-thi-hoc-sinh-quoc-gia-2019.html
https://www.molympiad.ml/
https://www.molympiad.ml/
https://www.molympiad.ml/2018/12/le-phuc-lu-bai-tap-luyen-thi-hoc-sinh-quoc-gia-2019.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy