[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 10 Tỉnh Hải Dương 2015-2016

1. Cho Parabol $(P):y=-x^2$ và đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(0;-1)$ và có hệ số góc là $k$. Gọi $A$ và $B$ là các giao điểm của $(P)$ và $(d)$. Giả sử $A$, $B$ lần lượt có hoành độ là $x_1$, $x_2$.
   a) Tìm $k$ để trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nằm trên trục tung.
   b) Chứng minh rằng $|x_1^3-x_2^3|\geq 2$, $\forall k\in\mathbb R$.
2. a) Giải phương trình $$\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}=3x^2-x+3$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}x^2+x^3y-xy^2+xy-y&=1 \\ x^4+y^2-xy(2x-1)&=1\end{cases}$$
3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(2;6)$, chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$ là điểm $D(2;-\frac{3}{2})$, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là điểm $I(-\frac{1}{2};1)$. Viết phương trình của đường thẳng $BC$. 
4. Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ $(b \ne c)$ và diện tích là $S$. Kí hiệu $m_a$, $m_b$, $m_b$ lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$. Biết rằng $$2m_a^2 \geq m_b^2 + m_c^2.$$ a) Chứng minh rằng $a^2 \leq 4S\cot A$.
   b) Gọi $O$ và $G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng góc $\angle MGO$ không nhọn.
5. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3\sqrt 3}{\sqrt 2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$M=\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}.$$

DOWNLOAD ĐÁP ÁN