1. a) Giải phương trình $$\sqrt[3]{2-x}=1-\sqrt{x-1}.$$ b) Cho $$S=\left(1-\frac{2}{2.3}\right)\left(1-\frac{2}{3.4}\right)\ldots \left(1-\frac{2}{2020.2021}\right)$$ là tích của $2019$ thừa số. Tính $S$ (lấy kết quả là phân số tối giản).
  2. a) Biết $a$, $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $9 \mid a^{2}-ab+b^{2}$. Chứng minh rằng cả $a$ và $b$ đều chia hết cho $3$.
    b) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $9^{n}+11$ là tích của $k$ ($k \in \mathbb N$, $k \geq 2$) số tự nhiên liên tiếp.
  3. a) Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương nhỏ hơn $4$. Chứng minh rằng trong các số $$\frac{1}{x}+\frac{1}{4-y},\quad \frac{1}{y}+\frac{1}{4-z},\quad \frac{1}{z}+\frac{1}{4-x}$$ tồn tại ít nhất $1$ số lớn hơn hoặc bằng $1$.
    b) Cho $a$, $b$, $c$ là các số dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $$P=ab+bc+ca-abc.$$
  4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$  $(AB<AC)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Gọi $S$ là giao điểm của $AI$ và $DE$.
    a) Chứng minh rằng tam giác $IAB$ đồng dạng tam giác $EAS$.
    b) Gọi $K$ là trung điểm của $AB$, $O$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $K$, $O$, $S$ thẳng hàng.
    c) Gọi $M$ là giao điểm của $KI$ và $AC$. Đường thẳng chứa đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt $DE$ tại $N$. Chứng minh rằng $AM=AN$.
  5. Xét bảng ô vuông cỡ $10\times 10$ gồm $100$ hình vuông có cạnh $1$ đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng $1$ số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá $1$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất $6$ lần.

Post A Comment:

0 comments: