Kỹ Thuật Vieta Jumping Với Bậc Đa Thức

Tìm các cặp đa thức có hệ số phức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn điều kiện: $P^2(x)+1$ chia hết cho $Q(x)$ và $Q^2(x)+1$ chia hết cho $P(x)$.
Lời giải. Giả sử $P,\,Q$ là cặp đa thức thỏa yêu cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử $\deg P\ge \deg Q$. Rõ ràng là ta có ngay $\gcd (P,\,Q)=1$, cho nên dẫn đến điều kiện tương đương là\[P\left( x \right)Q\left( x \right)\mid \left( {{P^2}\left( x \right) + {Q^2}\left( x \right) + 1} \right).\]Ta xét ba trường hợp sau.
  1. Nếu $\deg Q=0$, khi đó có ngay $\deg P=0$ và tất nhiện tình huống này thỏa mãn.
  2. Nếu tồn tại cặp $(P, Q)$ sao cho $\deg Q>0$ và $\deg P>\deg Q$, ta giả sử $(P,\,Q)$ là một cặp như thế thỏa $\deg P+\deg Q$ nhỏ nhất. Viết $Q^2+1=qP$, với $p\in\mathbb C[x]$, và giả sử $k\in\mathbb C[x]$ thỏa mãn $P^2+Q^2+1=kPQ$, ta có biến đổi sau\[pP\left( {{P^2} + pP} \right) = {P^2}\left( {pP + {p^2}} \right) = \left( {{Q^2} + 1 + {p^2}} \right){P^2} = kpQ{P^2}.\]Bởi vì $\deg pP>0$, nên kéo theo\[{Q^2} + {p^2} + 1 = kQp.\]Điều này cho thấy cặp $(Q,\,p)$ cũng thỏa yêu cầu, đồng thời $\deg p=2\deg Q-\deg P<\deg Q$ và $\deg p+\deg Q<\deg Q+\deg P$, cho nên cặp $(Q,\,p)$ mới sinh vi phạm vai trò của cặp $(P,\,Q)$. Vì thế, sẽ không xảy đến tình huống này.
  3. Nếu cặp $(P, Q)$ thỏa $\deg P=\deg Q>0$, lúc đó tồn tại hằng số $c\in\mathbb C$ sao cho\[{P^2} + {Q^2} + 1 = cPQ.\]Giả sử $r,\,r’$ là hai nghiệm phức của phương trình $x^2-cx+1,\;(*)$, ta có ngay\[\left( {P – rQ} \right)\left( {P – r’Q} \right) = – 1.\]Điều này cho thấy là các đa thức $f=P-rQ$ và $g=P-r’Q$ đều có bậc 0, cụ thể là tồn tại hằng số $C$ sao cho\[P – rQ =- C,\quad \;\;\;P – r’Q = \frac{1}{C}.\]Nếu $r\ne r’$ là ta có\[Q = \frac{1}{{r – r’}}\left( {C + \frac{1}{C}} \right).\]Chú ý là $r,\,r’,\,C$ đều là hằng số, để gặp điều mâu thuẫn với tình huống đang xét là $\deg Q>0$. Vậy nên, $r=r’$, vì phương trình $(*)$ có nghiệm kép nên $c\in\{2,\,-2\}$. Điều đó dẫn đến $r=r’=1$ hoặc $r=r’=-1$. Tình huống thứ nhất cho ta $P-Q=i$ hoặc $P-Q=-i$, còn tình huống thứ hai cho ta $P+Q=i$ hoặc $P+Q=-i$. Sau thử lại, ta thấy đều thỏa mãn.
Tóm lại, các cặp đa thức $(P,\, Q)$ thỏa yêu cầu là các cặp đa thức hằng, hoặc là các cặp ở một trong 4 kiểu là $$\left(P(x),\,P(x)-i\right),\;\left(P(x),\,P(x)+i\right),\;\left(P(x),\,-P(x)+i\right),\;\left(P(x),\,-P(x)-i\right).$$Ở đây, $P(x)$ là một đa thức hệ số phức có bậc dương bất kỳ.

No comments