# Liên Kết Cauchy Schwarz Và Ứng Dụng Trong Giải Toán Bất Đẳng Thức

### Một Số Đẳng Thức

1. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+x}=3,$$ hay $$x\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)+y\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+x} \right)+z\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y} \right)=3.$$
2. Với $x,y,z,k$ sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{x+ky}{x+ky}+\dfrac{y+kz}{y+kz}+\dfrac{z+kx}{z+kx}=3,$$ hay $$x\left(\dfrac{1}{x+ky}+\dfrac{k}{kx+z}\right)+y\left(\dfrac{1}{y+kz}+\dfrac{k}{ky+x} \right)+z\left(\dfrac{1}{z+kx}+\dfrac{k}{kz+y} \right)=3.$$
3. Với $x,y,z,k,q$ sao cho $(qx+ky)(qy+kz)(qz+kx)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{qx+ky}{qx+ky}+\dfrac{qy+kz}{qy+kz}+\dfrac{qz+kx}{qz+kx}=3,$$ hay $$x\left(\dfrac{q}{qx+ky}+\dfrac{k}{kx+qz}\right)+y\left(\dfrac{q}{qy+kz}+\dfrac{k}{ky+qx} \right)+z\left(\dfrac{q}{qz+kx}+\dfrac{k}{kz+qy} \right)=3.$$
4. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{z(x+y)}{x+y}+\dfrac{x(y+z)}{y+z}+\dfrac{y(z+x)}{z+x}=x+y+z,$$ hay $$xy\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y}\right)+yz\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z} \right)+zx\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+z} \right)=x+y+z,$$ hay $$x\left(\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y} \right)+y\left(\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z} \right)+z\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x} \right)=x+y+z.$$
5. Với $x,y,z,k$ sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{z(x+ky)}{x+ky}+\dfrac{x(y+kz)}{y+kz}+\dfrac{y(z+kx)}{z+kx}=x+y+z,$$ hay $$xy\left(\dfrac{k}{z+kx}+\dfrac{1}{kz+y}\right)+yz\left(\dfrac{k}{x+ky}+\dfrac{1}{kx+z} \right)+zx\left(\dfrac{k}{y+kz}+\dfrac{1}{ky+x} \right)=x+y+z.$$
6. Với $x,y,z,k,q$ sao cho $(qx+ky)(qy+kz)(qz+kx)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{z(qx+ky)}{qx+ky}+\dfrac{x(qy+kz)}{qy+kz}+\dfrac{y(qz+kx)}{qz+kx}=x+y+z,$$ hay $$xy\left(\dfrac{k}{qz+kx}+\dfrac{q}{kz+qy}\right)+yz\left(\dfrac{k}{qx+ky}+\dfrac{q}{kx+qz} \right)+zx\left(\dfrac{k}{qy+kz}+\dfrac{q}{ky+qx} \right)=x+y+z.$$
7. Với $x,y,z$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng không, thì ta có $$\dfrac{z(x^2+y^2)}{x^2+y^2}+\dfrac{x(y^2+z^2)}{y^2+z^2}+\dfrac{y(z^2+x^2)}{z^2+x^2}=x+y+z,$$ hay $$x^2\left(\dfrac{y}{x^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2} \right)+y^2\left(\dfrac{z}{y^2+x^2}+\dfrac{x}{y^2+z^2} \right)+z^2\left(\dfrac{x}{z^2+y^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2} \right) =x+y+z,$$ hay $$xy\left(\dfrac{x}{x^2+z^2}+\dfrac{y}{y^2+z^2}\right)+yz\left(\dfrac{y}{y^2+x^2}+\dfrac{z}{z^2+x^2}\right)+zx\left(\dfrac{z}{z^2+y^2}+\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)=x+y+z.$$
8. Với $x,y,z,k$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng không, thì ta có $$\dfrac{z(x^2+ky^2)}{x^2+ky^2}+\dfrac{x(y^2+kz^2)}{y^2+kz^2}+\dfrac{y(z^2+kx^2)}{z^2+kx^2}=x+y+z,$$ hay $$x^2\left(\dfrac{ky}{kx^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+ky^2} \right)+y^2\left(\dfrac{kz}{ky^2+x^2}+\dfrac{x}{y^2+kz^2} \right)+z^2\left(\dfrac{kx}{kz^2+y^2}+\dfrac{y}{z^2+kx^2} \right) =x+y+z.$$
9. Với $x,y,z,k,q$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng không, thì ta có $$\dfrac{z(qx^2+ky^2)}{qx^2+ky^2}+\dfrac{x(qy^2+kz^2)}{qy^2+kz^2}+\dfrac{y(qz^2+kx^2)}{qz^2+kx^2}=x+y+z,$$ hay $$x^2\left(\dfrac{ky}{kx^2+qz^2}+\dfrac{qz}{qx^2+ky^2} \right)+y^2\left(\dfrac{kz}{ky^2+qx^2}+\dfrac{qx}{qy^2+kz^2} \right)+z^2\left(\dfrac{kx}{kz^2+qy^2}+\dfrac{qy}{qz^2+kx^2} \right) =x+y+z.$$
10. Với $x,y,z$ sao cho $(x+y)(y+z)(z+x)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{z^2(x+y)}{x+y}+\dfrac{x^2(y+z)}{y+z}+\dfrac{y^2(z+x)}{z+x}=x^2+y^2+z^2,$$ hay $$x\left(\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{x+z}\right)+ y\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{y+x}\right)+ z\left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{x^2}{z+y}\right)= x^2+y^2+z^2.$$
11. Với $x,y,z,k$ sao cho $(x+ky)(y+kz)(z+kx)\neq 0$, thì ta có $$\dfrac{z^2(x+ky)}{x+ky}+\dfrac{x^2(y+kz)}{y+kz}+\dfrac{y^2(z+kx)}{z+kx}=x^2+y^2+z^2,$$ hay $$x\left(\dfrac{z^2}{x+ky}+\dfrac{ky^2}{kx+z}\right)+ y\left(\dfrac{x^2}{y+kz}+\dfrac{kz^2}{ky+x}\right)+ z\left(\dfrac{y^2}{z+kx}+\dfrac{kx^2}{kz+y}\right)= x^2+y^2+z^2.$$

### Bài Toán Áp Dụng

1. Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng $$\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\le \dfrac{3}{4}.$$
2. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a}{(k^2+1)a+k(b+c)}+\dfrac{b}{(k^2+1)b+k(c+a)}+\dfrac{c}{(k^2+1)c+k(a+b)}\le \dfrac{3}{(k+1)^2}.$$
3. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\dfrac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le \dfrac{1}{2}.$$
4. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{c^2-ab}{a^2+b^2+2c^2}\ge 0.$$
5. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2-bc}{4a^2+4b^2+c^2}+\dfrac{b^2-ca}{a^2+4b^2+4c^2}+\dfrac{c^2-ab}{4a^2+b^2+4c^2}\ge 0.$$
6. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\dfrac{ab}{b+2kc+k^2a}+\dfrac{bc}{c+2ka+k^2b}+\dfrac{ca}{a+2kb+k^2c}\le \dfrac{a+b+c}{\left(k+1\right)^2}.$$

### Lời Giải Tham Khảo

1. Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có $$\dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z} \right),$$ hay $$\dfrac{x}{2x+y+z}\le \dfrac{x}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right).$$ Tương tự như trên thì $$\dfrac{y}{2y+z+x}\le \dfrac{y}{4}\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{y+x}\right),$$ $$\dfrac{z}{2z+x+y}\le \dfrac{z}{4}\left(\dfrac{1}{z+x}+\dfrac{1}{z+y}\right).$$ Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh, vì $$\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}=3.$$ Hoàn tất chứng minh.
2. Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có $$\dfrac{(1+k)^2}{(k^2+1)a+k(b+c)}=\dfrac{(1+k)^2}{a+kb+k(ka+c)}\le \dfrac{1}{a+kb}+\dfrac{k}{ka+c},$$ hay $$\dfrac{a}{(k^2+1)a+k(b+c)}\le \dfrac{1}{(k+1)^2}\left(\dfrac{a}{a+kb}+\dfrac{ka}{ka+c}\right).$$ Tương tự $$\dfrac{b}{(k^2+1)b+k(c+a)} \le \dfrac{1}{(k+1)^2}\left(\dfrac{b}{b+kc}+\dfrac{kb}{kb+a}\right).$$ $$\dfrac{c}{(k^2+1)c+k(a+b)}\le \dfrac{1}{(k+1)^2}\left(\dfrac{c}{c+ka}+\dfrac{kc}{kc+b}\right).$$ Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh, vì $$\dfrac{a}{a+kb}+\dfrac{ka}{ka+c}+\dfrac{b}{b+kc}+\dfrac{kb}{kb+a}+\dfrac{c}{c+ka}+\dfrac{kc}{kc+b}=3.$$ Hoàn tất chứng minh.
3. Thực hiện cách ghép để liên kết đẳng thức như sau nhờ Cauchy-Schwarz \begin{aligned}\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}&=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+ \left(a^2+b^2\right) +\left(a^2+c^2\right)}\\&\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}.\end{aligned} Tương tự $$\dfrac{(a+b+c)^2}{4b^2+c^2+a^2}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}.$$ $$\dfrac{(a+b+c)^2}{4c^2+a^2+b^2}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b^2}{c^2+b^2}.$$ Lại có $$\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}+\dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b^2}{c^2+b^2}=3.$$ Cộng vế theo vế và rút gọn cho 9. Hoàn tất chứng
4. Viết lại bất đẳng thức như sau $$\dfrac{2(a^2-bc)}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2(b^2-ca)}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{2(c^2-ab)}{a^2+b^2+2c^2}\ge 0,$$ hay $$\dfrac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(c+a)^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}\le 3.$$ Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có $$\dfrac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\le \dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}.$$ Tương tự $$\dfrac{(c+a)^2}{a^2+2b^2+c^2}\le \dfrac{c^2}{c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}.$$ $$\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2c^2}\le \dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}.$$ Lại có $$\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}+\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}=3.$$ Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh.
5. Viết lại bất đẳng thức như sau $$\dfrac{4(a^2-bc)}{4a^2+4b^2+c^2}+\dfrac{4(b^2-ca)}{a^2+4b^2+4c^2}+\dfrac{4(c^2-ab)}{4a^2+b^2+4c^2}\ge 0,$$ hay $$\dfrac{(2b+c)^2}{4a^2+4b^2+c^2}+\dfrac{(2c+a)^2}{a^2+4b^2+4c^2}+\dfrac{(2a+b)}{4a^2+b^2+4c^2}\le 3,$$ Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có $$\dfrac{(2b+c)^2}{2(2b^2+a^2)+c^2+2a^2}\le \dfrac{2b^2}{2b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{c^2+2a^2}.$$ Tương tự chúng ta cũng có $$\dfrac{(2c+a)^2}{2(2c^2+b^2)+a^2+2b^2}\le\dfrac{2c^2}{2c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{a^2+2b^2}.$$ $$\dfrac{(2a+b)}{2(2a^2+c^2)+b^2+2c^2 }\le \dfrac{2a^2}{2a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+2c^2}.$$ Lại có $$\dfrac{2b^2}{2b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{c^2+2a^2}+\dfrac{2c^2}{2c^2+b^2}+\dfrac{a^2}{a^2+2b^2}+\dfrac{2a^2}{2a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+2c^2}=3.$$ Hoàn tất chứng minh.
6. Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có $$\dfrac{\left(k+1\right)^2ab}{b+2kc+k^2a}=\dfrac{\left(k+1\right)^2ab}{b+kc+k\left(c+ka \right)}\le ab\left(\dfrac{1}{b+kc}+\dfrac{k}{c+ka} \right).$$ Tương tự $$\dfrac{\left(k+1\right)^2bc}{c+2ka+k^2b}\le bc \left(\dfrac{1}{c+ka}+\dfrac{k}{a+kb} \right).$$ $$\dfrac{\left(k+1\right)^2ca}{a+2kb+k^2c}\le ca\left(\dfrac{1}{a+kb}+\dfrac{k}{b+kc} \right).$$ Lại có $$ab\left(\dfrac{1}{b+kc}+\dfrac{k}{c+ka} \right)+bc \left(\dfrac{1}{c+ka}+\dfrac{k}{a+kb} \right)+ca\left(\dfrac{1}{a+kb}+\dfrac{k}{b+kc} \right)=a+b+c.$$ Vì thế cộng vế theo vế thì hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ và $c=kb$, $a=0$ (hoặc một vài hoán vị).