Tagtaglia & Cardano & Ferrari tìm ra lời giải cho phương trình bậc 3 & bậc 4, Abel & Galois chứng minh nghiệm của phương trình đại số tổng quát bậc từ 5 trở đi không thể biểu diễn được như một biểu thức đại số với căn thức như trong trường hợp đa thức bậc không quá 4, công trình của Galois được xem như mốc khai sinh của Đại số hiện đại, lý thuyết Galois hiện đại được phát biểu trên cơ sở các khái niệm mở rộng trường & nhóm Galois, đại số tuyến tính, khái niệm chiều của không gian vector.
  1. Lịch Sử của Bài Toán. lời giải phương trình bậc 2 tổng quát của Brahmagupta, dấu vết của những phương pháp hình học khác nhau để giải phương trình bậc 2 [Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Ấn Độ, Trung Hoa, etc.], Omar Khayyam chứng minh rằng có thể xây dựng nghiệm của phương trình bậc 3 bằng cách lấy giao 2 đường conic, Ommar Khayyam phát biểu rằng không thể xây dựng nghiệm của phương trình bậc 3 chỉ bằng thước kẻ & compa, Tagtaglia đưa ra công thức tổng quát đầu tiên cho nghiệm của phương trình bậc 3, lời giải phương trình bậc 4 của Ferrari, phương pháp chung của Lagrange giải cả phương trình bậc 3 & bậc 4, giải thức, định lý Abel-Ruffini [Phương trình bậc 5 tổng quát không giải được bằng căn thức], nhóm Galois.
  2. Về Phát Biểu của Bài Toán. biểu diễn nghiệm của phương trình đa thức dưới dạng một biểu thức với các biến số là các hệ số của đa thức & được quyền dùng 4 phép toán thông thường & căn thức, trường & mở rộng trường, phân tích cấu trúc của nhóm Galois để quyết định phương trình bậc $n$ có thể giải được bằng căn thức hay không.
  3. Mở Rộng Bậc Hai. mở rộng bậc 2 của $\mathbb{Q}$, mở rộng bậc 2 sinh bởi 2 nghiệm của phương trình bậc 2 đều trùng với mở rộng bậc 2 sinh bởi căn bậc 2 của biệt thức, mọi mở rộng bậc 2 của $\mathbb{Q}$ đều có dạng $L=\mathbb{Q}\left[ {\sqrt{d}} \right]$ với $d$ là một số hữu tỷ nào đó, khái niệm phương trình giải được bằng căn thức.
  4. Phương Trình Giải Được Bằng Căn Thức. trường đóng đại số, đa thức bất khả quy, mở rộng bậc $n$ của trường đóng đại số $K$, nghiệm có biểu diễn được bằng biểu thức đại số với căn thức.
  5. Phụ Thuộc Đại Số Giữa Các Nghiệm. khi $n\ge 3$ các mở rộng bậc $n$ ứng với các nghiệm khác nhau có thể khác nhau, căn bậc 3 nguyên sơ của đơn vị, khái niệm trường phân rã của một đa thức bất khả quy, trường phân rã của một đa thức là công cụ để đo sự phụ thuộc đại số giữa các nghiệm của nó, trường phân rã sẽ lớn nếu các nghiệm có ít quan hệ đại số & trường phân rã sẽ nhỏ nếu các nghiệm có nhiều quan hệ đại số, đa thức bất khả quy tách được, trong trường hợp đặc số không mọi đa thức bất khả quy đều tách được, trong trường hợp đặc số dương có những đa thức bất khả quy nhưng không tách được, trường phân rã của $K$, compositum của $K\left[ {{{\alpha }_{1}}} \right],\ldots ,K\left[ {{{\alpha }_{n}}} \right]$, các bậc của mở rộng ${{L}_{i}}/{{L}_{{i-1}}}$ phản ánh mức độ phụ thuộc đại số giữa các nghiệm ${{\alpha }_{1}},\ldots ,{{\alpha }_{n}}$.
  6. Nhóm Galois Của Một Đa Thức. nhóm Galois của một đa thức, mở rộng hữu hạn tách được, nếu $L=K\left[ x \right]/P$ với $P\in K\left[ x \right]$ là một đa thức bất khả quy bậc $n$ tách được thì $L$ là mở rộng tách được, compositum của mở rộng tác được ${{K}_{1}},\ldots ,{{K}_{n}}$ với $K\subset {{K}_{i}}\subset \overline{K}$ là mở rộng tách được, trường phân rã của một đa thức tách được là một mở rộng tách được, 1 tính chất của mở rộng tách được [Nếu $L/K$ là một mở rộng tách được thì tồn tại $\beta \in L$ là phần tử sinh của $L$], Mỗi đa thức bất khả quy \displaystyle P ứng với một nhóm Galois $\Gamma$. Nếu các nghiệm của $P$ trong $\overline{K}$ được đánh số thì có thể coi $\Gamma$  như một nhóm con của nhóm đối xứng cấp $n$, có tác động bắc cầu lên tập $\left\{ {1,\ldots ,n} \right\}$. Số phần tử của $\Gamma$  đúng bằng bậc của trường phân rã.
  7. Tương Ứng Galois. nếu $L$ là trường phân rã của đa thức bất khả quy tách được $P\in K\left[ x \right]$ thì mở rộng $L/K$ có tính chất số phần tử của nhóm $\mbox{Aut}_{K}\left( L \right)$ đúng bằng với bậc của mở rộng, mở rộng Galois, trường phân rã của một đa thức bất khả quy luôn luôn là mở rộng Galois, mở rộng tách được, mở rộng Galois là trường phân rã của một đa thức nào đó & nó có thể đồng thời là trường phân rã của nhiều đa thức khác nhau, không phải mở rộng nào cũng là mở rộng Galois, tương ứng Galois (thường được coi là mệnh đề quan trọng nhất trong lý thuyết Galois), nhóm con chuẩn tắc.
  8. Tiêu Chuẩn Để Giải Được Phương Trình Bằng Căn Thức. nhóm giải được, giải thức Lagrange, để biết một phương trình có thể giải được bằng căn thức hay không ta chỉ cần biết xem nhóm Galois của nó có.
  9. Phương Trình Bậc Ba. giải thức (resolvent), phương pháp giải thức Lagrange giải phương trình bậc 3 & bậc 4, chữ phổ quát đại số hiện đại, đa thức bậc 3 phổ quát, trường các thương của các đa thức, quá trình biểu diễn nghiệm của phương trình bậc 3 phổ quát như biểu thức đại số có căn thức, phương trình phổ quát bậc 3 có thể giải được bằng căn thức, giải thức Lagrange, công thức Tagtaglia cho nghiệm của phương trình bậc 3 phổ quát.
  10. Phương Trình Bậc Bốn. dùng giải thức Lagrange để tìm ra biểu thức căn thức cho nghiệm phương trình bậc 4 phổ quát.
  11. Phương Trình Bậc Năm Trở Đi. nhóm luân phiên, nhóm con chuẩn tắc là hợp của một số lớp liên hợp & số phần tử của nhóm con bằng với tổng số phần tử của một số lớp liên hợp bị chứa trong nó.

Post A Comment:

0 comments: