$type=ticker$cat=0$source=random$cols=4$count=24$b=0$hide=mobile

Phương Trình Nghiệm Nguyên $x^3+4x=y^2$

Phương trình nghiệm nguyên sau đây, là một bài toán khá nổi tiếng trên AMM những năm trước. Việc giải quyết nó đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết về phương trình Pythagoras
Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x^3+4x=y^2.$$
Lời giải. Trước tiên ta cần có bổ đề sau

Bổ đề. Nếu phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ thì $2\mathfrak x\mathfrak y$ không là số chính phương.

Chứng minh. Giả sử phương trình đó có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ với $2\mathfrak x\mathfrak y$ là số chính phương, gọi $\left(a;\,b;\,c\right)$ là bộ nghiệm như thế với $c$ nhỏ nhất. Do tính thuần nhất của phương trình nên
\[\gcd \left( {a;\,b} \right) = \gcd \left( {b;\,c} \right) = \gcd \left( {c;\,a} \right) = 1.\]
Từ cấu trúc nghiệm của phương trình Pythagoras, sẽ tồn tại các số nguyên dương $\alpha$ và $\beta$ trái tính chẵn lẻ, với $\gcd\left(\alpha ;\,\beta\right)=1$ thỏa\[a = 2\alpha \beta ;\;b = {\alpha ^2} – {\beta ^2};\;c = {\alpha ^2} + {\beta ^2}.\]Lúc đó $2ab = 4\alpha \beta \left( {{\alpha } + {\beta }} \right)\left( {{\alpha } – {\beta }} \right)$ là số chính phương và bốn số $\alpha ;\,\beta ;\,\alpha + \beta ;\,\alpha – \beta $ đôi một nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại các số nguyên dương $\alpha_0;\,\beta_0;\,\gamma_0$ và $\lambda_0$ thỏa\[\alpha = \alpha _0^2;\;\beta = \beta _0^2;\;{\alpha} + {\beta } = \gamma _0^2;\;{\alpha} – {\beta } = \lambda _0^2.\]Để ý rằng $\gcd\left(\gamma_0+\lambda_0;\,\gamma_0-\lambda_0\right)=2$ và\[2\beta=2\beta_0^2 = \gamma _0^2 – \lambda _0^2 = \left( {{\gamma _0} + {\lambda _0}} \right)\left( {{\gamma _0} – {\lambda _0}} \right).\]Nên một trong hai số ${{\gamma _0} – {\lambda _0}} $ và ${{\gamma _0} + {\lambda _0}} $ có dạng $2r^2$ số còn lại có dạng $4s^2$ với $r;\,s\in\mathbb Z^+$, từ đó\[\alpha = \alpha _0^2 = \frac{{\gamma _0^2 + \lambda _0^2}}{2} = \frac{{{{\left( {{\gamma _0} – {\lambda _0}} \right)}^2} + {{\left( {{\gamma _0} + {\lambda _0}} \right)}^2}}}{4} = {r^4} + 4{s^4}.\]Tức là bộ $(x;\,y;\,z)=\left(r^2;\,2s^2;\,\alpha_0\right)$ thỏa phương trình $x^2+y^2=z^2$ và $2xy=(2rs)^2$ là một số chính phương. Có điều, bộ nghiệm này đã vi phạm vai trò của bộ $(a;\,b;\,c)$ do là \[{\alpha _0} \le \alpha _0^2 = \alpha < {\alpha ^2} + {\beta ^2} = c.\] Vậy bổ đề đã được chứng minh xong, ta quay lại bài toán và xét các trường hợp sau
  1. Nếu $x=0$, ta có $y=0$ thỏa tức là có cặp $(0;\,0)$ là nghiệm.
  2. Nếu $x$ lẻ, thì $\gcd\left(x;\,x^2+4\right)=1$ nên tồn tại $u;\,v\in\mathbb N$ sao cho $x=u^2$ và $x^2+4=v^2$, từ đó\[\left( {v – {u^2}} \right)\left( {v + {u^2}} \right) = 4.\] Để ý rằng $u$ lẻ nên kéo theo $v$ lẻ và do $4$ có phân tích duy nhất thành tích hai số tự nhiên chẵn nên \[v – {u^2} = v + {u^2} = 2.\] Ta có $u=0$ và loại bỏ trong tình huống này.
  3. Nếu $x$ chẵn và $x> 0$, đặt $x=2l$ với $l\in\mathbb Z^+$ khi đó $y$ chẵn nên $y=2m$ với $m\in\mathbb Z^+$ và có \[2\left( {{l^2} + 1} \right)l = {m^2}.\] Từ đây $m$ chẵn nên $m=2n$ và ta có \[\left( {{l^2} + 1} \right)l = 2{n^2}.\] Bởi vì $l^2<l^2+1<(l+1)^2$ với $l\in\mathbb Z^+$ nên $l^2+1$ không thể là số chính phương, do đó tồn tại các số nguyên dương $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ thỏa\[l = {\mathfrak{a}^2};\;{l^2} + 1 = 2{\mathfrak{b}^2}.\] Ta thấy rằng $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ lẻ và từ trên sẽ có\[{\left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} – 1}}{2}} \right)^2} + {\mathfrak{a}^4} = \left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} + 1}}{2}} \right)^2 =\left( {\frac{{{l^2} + 1}}{2}} \right)^2 = {\mathfrak{b}^4}.\] Bây giờ nếu $\mathfrak{a}>1$ thì phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left( x;\, y;\, z\right) = \left( {2{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2};\,{\mathfrak{b}^4} – {\mathfrak{a}^4};\,{\mathfrak{a}^4} + {\mathfrak{b}^4}} \right)$ với \[2xy = 4{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2}\left( {{\mathfrak{b}^4} – {\mathfrak{a}^4}} \right) = {\left( {\mathfrak{a}\mathfrak{b}\left( {{\mathfrak{a}^4} – 1} \right)} \right)^2}.\] Điều đó, mâu thuẫn với bổ đề ở trên kia. Vậy $\mathfrak a=1$ tức $l=1$ và $x=2$, và trường hợp này vì thế chỉ cho ta thêm hai cặp nghiệm đó là $(x;\,y)=(2;\,4)$ và $(x;\,y)=(2;\,-4)$.
Tóm lại, ta có các cặp nghiệm $(x;\,y)$ là $(0;\,0),\,(2;\,-4)$ và $(2;\,4)$.
Theo http://maths.vn/

COMMENTS

[KỶ YẾU / HỘI THẢO]_$type=list$source=random$cate=0$s=0$m=0$c=8$p=1$d=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,2,Albania,2,American Mathematical Monthly,2,AMM,1,Amsterdam,8,Ấn Độ,1,An Giang,16,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,16,Arabia,1,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,44,Bắc Bộ,23,Bắc Giang,40,Bạc Liêu,7,Bắc Ninh,34,Bắc Trung Bộ,8,Bài Toán Hay,3,Balkan,29,Baltic Way,29,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,77,BDHSG,14,Bến Tre,21,Benelux,11,Bình Định,36,Bình Dương,18,Bình Phước,20,Bình Thuận,25,Birch,1,Bosnia Herzegovina,2,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bulgaria,5,BxMO,10,Cà Mau,12,Cần Thơ,12,Canada,63,Cao Bằng,5,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,30,Chọn Đội Tuyển,274,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,104,Chuyên Sư Phạm,28,Collection,8,College Mathematics Journal,1,Concours,1,Cono Sur,1,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,CPS,4,Crux,2,Đà Nẵng,36,Đa Thức,2,Đại Số,31,Đắk Lắk,48,Đắk Nông,4,Đan Phượng,1,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1957,Đề Thi HSG,1108,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,5,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,3,Đồng Nai,42,Đồng Tháp,40,Đức,1,E-Book,19,EGMO,12,ELMO,17,EMC,7,Estonian,5,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,21,GDTX,3,Geometry,5,Gia Lai,20,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,21,Hà Nội,151,Hà Tĩnh,60,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,41,Hải Phòng,36,Hàn Quốc,4,Hậu Giang,3,Hilbert,1,Hình Học,49,HKUST,6,Hòa Bình,12,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,Hong Kong,1,HongKong,6,HSG 10,86,HSG 11,63,HSG 12,469,HSG 9,309,HSG Cấp Trường,64,HSG Quốc Gia,86,HSG Quốc Tế,13,Hứa Lâm Phong,1,Huế,30,Hùng Vương,25,Hưng Yên,24,Hy Lạp,1,IMC,23,IMO,40,India,37,Inequality,13,International,208,Iran,4,Jakob,1,JBMO,16,Journal,16,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,10,KHTN,46,Kiên Giang,26,Kon Tum,17,Kvant,2,Kỷ Yếu,37,Lai Châu,3,Lâm Đồng,20,Lạng Sơn,17,Langlands,1,Lào Cai,9,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,4,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Long An,33,Lớp 10,8,Lớp 10 Chuyên,342,Lớp 10 Không Chuyên,140,Lớp 11,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Macedonian,1,Malaysia,1,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today Magazine,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MEMO,9,Metropolises,3,Mexico,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,7,MYM,74,MYTS,1,Nam Định,26,Nam Phi,1,National,177,Nesbitt,1,Nghệ An,43,Ngô Bảo Châu,1,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,2,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,4,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,4,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,7,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,23,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,1,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,2,Nhóm Toán,3,Ninh Bình,36,Ninh Thuận,13,Nội Suy Lagrange,1,Nội Suy Newton,1,Nordic,18,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,87,Olympic 10/3,3,Olympic 11,79,Olympic 12,27,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,56,Olympic KHTN,5,Olympic Sinh Viên,63,Olympic Toán,258,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippine,1,Philippines,4,Phú Thọ,24,Phú Yên,21,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,26,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Problems,1,PT-HPT,32,PTNK,37,Putnam,24,Quảng Bình,37,Quảng Nam,26,Quảng Ngãi,29,Quảng Ninh,32,Quảng Trị,17,Riemann,1,RMM,11,Romania,8,Romanian Mathematical Magazine,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,79,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi,2,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,19,Shortlists,35,Simon Singh,1,Singapore,1,Số học,38,Sóc Trăng,7,Sơn La,10,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,15,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,24,Thái Bình,33,Thái Nguyên,31,Thanh Hóa,46,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,4,Thomas J. Mildorf,1,THPTQG,11,THTT,7,Tiền Giang,16,Titu Andreescu,2,Tổ hợp,7,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,20,Toán Tuổi Thơ,2,TOT,1,TPHCM,99,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,32,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,8,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,1,Trần Quốc Luật,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,11,Trường Đông,16,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,44,Tuyên Quang,6,Tuyển sinh,10,Tuyển Tập,33,Tuymaada,1,Undergraduate,61,USA,28,USAJMO,1,USATST,5,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,3,Viện Toán Học,1,Vietnam,2,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,23,Vĩnh Long,17,Vĩnh Phúc,55,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,8,VMO,38,VNTST,18,Võ Quốc Bá Cẩn,18,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,5,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,15,Yên Định,1,Zhautykov,10,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
Mathematical Olympiad Contests Collection: Phương Trình Nghiệm Nguyên $x^3+4x=y^2$
Phương Trình Nghiệm Nguyên $x^3+4x=y^2$
Mathematical Olympiad Contests Collection
https://www.molympiad.ml/2019/01/phuong-trinh-nghiem-nguyen-x34xy2.html
https://www.molympiad.ml/
https://www.molympiad.ml/
https://www.molympiad.ml/2019/01/phuong-trinh-nghiem-nguyen-x34xy2.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy