Phương Trình Nghiệm Nguyên $x^3+4x=y^2$

Phương trình nghiệm nguyên sau đây, là một bài toán khá nổi tiếng trên AMM những năm trước. Việc giải quyết nó đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết về phương trình Pythagoras
Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x^3+4x=y^2.$$
Lời giải. Trước tiên ta cần có bổ đề sau

Bổ đề. Nếu phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ thì $2\mathfrak x\mathfrak y$ không là số chính phương.

Chứng minh. Giả sử phương trình đó có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ với $2\mathfrak x\mathfrak y$ là số chính phương, gọi $\left(a;\,b;\,c\right)$ là bộ nghiệm như thế với $c$ nhỏ nhất. Do tính thuần nhất của phương trình nên
\[\gcd \left( {a;\,b} \right) = \gcd \left( {b;\,c} \right) = \gcd \left( {c;\,a} \right) = 1.\]
Từ cấu trúc nghiệm của phương trình Pythagoras, sẽ tồn tại các số nguyên dương $\alpha$ và $\beta$ trái tính chẵn lẻ, với $\gcd\left(\alpha ;\,\beta\right)=1$ thỏa\[a = 2\alpha \beta ;\;b = {\alpha ^2} – {\beta ^2};\;c = {\alpha ^2} + {\beta ^2}.\]Lúc đó $2ab = 4\alpha \beta \left( {{\alpha } + {\beta }} \right)\left( {{\alpha } – {\beta }} \right)$ là số chính phương và bốn số $\alpha ;\,\beta ;\,\alpha + \beta ;\,\alpha – \beta $ đôi một nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại các số nguyên dương $\alpha_0;\,\beta_0;\,\gamma_0$ và $\lambda_0$ thỏa\[\alpha = \alpha _0^2;\;\beta = \beta _0^2;\;{\alpha} + {\beta } = \gamma _0^2;\;{\alpha} – {\beta } = \lambda _0^2.\]Để ý rằng $\gcd\left(\gamma_0+\lambda_0;\,\gamma_0-\lambda_0\right)=2$ và\[2\beta=2\beta_0^2 = \gamma _0^2 – \lambda _0^2 = \left( {{\gamma _0} + {\lambda _0}} \right)\left( {{\gamma _0} – {\lambda _0}} \right).\]Nên một trong hai số ${{\gamma _0} – {\lambda _0}} $ và ${{\gamma _0} + {\lambda _0}} $ có dạng $2r^2$ số còn lại có dạng $4s^2$ với $r;\,s\in\mathbb Z^+$, từ đó\[\alpha = \alpha _0^2 = \frac{{\gamma _0^2 + \lambda _0^2}}{2} = \frac{{{{\left( {{\gamma _0} – {\lambda _0}} \right)}^2} + {{\left( {{\gamma _0} + {\lambda _0}} \right)}^2}}}{4} = {r^4} + 4{s^4}.\]Tức là bộ $(x;\,y;\,z)=\left(r^2;\,2s^2;\,\alpha_0\right)$ thỏa phương trình $x^2+y^2=z^2$ và $2xy=(2rs)^2$ là một số chính phương. Có điều, bộ nghiệm này đã vi phạm vai trò của bộ $(a;\,b;\,c)$ do là \[{\alpha _0} \le \alpha _0^2 = \alpha < {\alpha ^2} + {\beta ^2} = c.\] Vậy bổ đề đã được chứng minh xong, ta quay lại bài toán và xét các trường hợp sau
  1. Nếu $x=0$, ta có $y=0$ thỏa tức là có cặp $(0;\,0)$ là nghiệm.
  2. Nếu $x$ lẻ, thì $\gcd\left(x;\,x^2+4\right)=1$ nên tồn tại $u;\,v\in\mathbb N$ sao cho $x=u^2$ và $x^2+4=v^2$, từ đó\[\left( {v – {u^2}} \right)\left( {v + {u^2}} \right) = 4.\] Để ý rằng $u$ lẻ nên kéo theo $v$ lẻ và do $4$ có phân tích duy nhất thành tích hai số tự nhiên chẵn nên \[v – {u^2} = v + {u^2} = 2.\] Ta có $u=0$ và loại bỏ trong tình huống này.
  3. Nếu $x$ chẵn và $x> 0$, đặt $x=2l$ với $l\in\mathbb Z^+$ khi đó $y$ chẵn nên $y=2m$ với $m\in\mathbb Z^+$ và có \[2\left( {{l^2} + 1} \right)l = {m^2}.\] Từ đây $m$ chẵn nên $m=2n$ và ta có \[\left( {{l^2} + 1} \right)l = 2{n^2}.\] Bởi vì $l^2<l^2+1<(l+1)^2$ với $l\in\mathbb Z^+$ nên $l^2+1$ không thể là số chính phương, do đó tồn tại các số nguyên dương $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ thỏa\[l = {\mathfrak{a}^2};\;{l^2} + 1 = 2{\mathfrak{b}^2}.\] Ta thấy rằng $\mathfrak{a}$ và $\mathfrak{b}$ lẻ và từ trên sẽ có\[{\left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} – 1}}{2}} \right)^2} + {\mathfrak{a}^4} = \left( {\frac{{{\mathfrak{a}^4} + 1}}{2}} \right)^2 =\left( {\frac{{{l^2} + 1}}{2}} \right)^2 = {\mathfrak{b}^4}.\] Bây giờ nếu $\mathfrak{a}>1$ thì phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left( x;\, y;\, z\right) = \left( {2{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2};\,{\mathfrak{b}^4} – {\mathfrak{a}^4};\,{\mathfrak{a}^4} + {\mathfrak{b}^4}} \right)$ với \[2xy = 4{\mathfrak{a}^2}{\mathfrak{b}^2}\left( {{\mathfrak{b}^4} – {\mathfrak{a}^4}} \right) = {\left( {\mathfrak{a}\mathfrak{b}\left( {{\mathfrak{a}^4} – 1} \right)} \right)^2}.\] Điều đó, mâu thuẫn với bổ đề ở trên kia. Vậy $\mathfrak a=1$ tức $l=1$ và $x=2$, và trường hợp này vì thế chỉ cho ta thêm hai cặp nghiệm đó là $(x;\,y)=(2;\,4)$ và $(x;\,y)=(2;\,-4)$.
Tóm lại, ta có các cặp nghiệm $(x;\,y)$ là $(0;\,0),\,(2;\,-4)$ và $(2;\,4)$.
Theo http://maths.vn/

No comments