1. Cho $x$, $y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y=2$.
    a) Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương ta đều có bất đẳng thức $$\dfrac{1}{x^n}+\dfrac{1}{y^n}\geq x^{n+1}+y^{n+1}.$$ b) Với mỗi $n$ hỏi có thể thay hằng số $n+1$ bằng số $k>n+1$ sao cho bất đẳng thức $$\dfrac{1}{x^n}+\dfrac{1}{y^n}\geq x^k+y^k$$ vẫn đúng với mọi $x,y>0$ thỏa mãn điều kiện $x+y=2$ được không?.
  2. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $$a_1=1,\,a_2=2,\quad a_{n+2}=\dfrac{3a_{n+1}-a_{n}}{2}+\dfrac{1}{n^2},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.
  3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$, $CA$, $AB$ và $J$ là trung điểm của $EF$. $BJ$, $CJ$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $H$, $K$. $EF$ lần lượt cắt $BC$, $HK$ tại $M$, $N$. Chứng minh rằng tam giác $AMN$ cân tại $A$.
  4. Xét bảng vuông $2n \times 2n$ ô. Ta tô màu các ô vuông bằng hai màu đen, trắng sao cho số các ô đen trên mỗi hàng đôi một khác nhau và số các ô đen trên mỗi cột đôi một bằng nhau.
    a) Hỏi có tổng cộng bao nhiêu ô đen?.
    b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cặp ô khác màu kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu có chung cạnh).
  5. Tìm tất các các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số thực và nhận giá trị thực sao cho $$f(f(x)+2y)=10x+f(f(y)-3x),\,\forall x,y\in\mathbb R.$$
  6. Có $23$ số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) được viết thành một hàng. Chứng minh rằng ta có thể đặt các dấu $+$, dấu $\times$ và các dấu ngoặc một cách thích hợp để giá trị của biểu thức thu được chia hết cho $2000$.
  7. Cho tam giác $ABC$ và $P$ là điểm nằm trong tam giác. $D$ là hình chiếu của $P$ trên $BC$. Lấy các điểm $E$, $F$ sao cho $PE \perp AC$, $CE \perp BC$, $PF \perp AB$, $BF \perp BC$. $G$ là đối xứng của $D$ qua trung điểm $BC$.
    a) Chứng minh rằng $AG \perp EF$.
    b) Gọi giao điểm của $EF$ với $CA$, $AB$ lần lượt là $S$, $T$. $Q$, $R$ lần lượt đối xứng của $P$ qua trung điểm của $GE$, $GF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $S$ vuông góc với $AQ$ và đường thẳng qua $T$ vuông góc với $AR$ cắt nhau trên $AG$.

Post A Comment:

0 comments: