1. a) Chứng minh rằng phương trình $-x= \sqrt[3]{x^2-6x+3}$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt là $x_1,x_2,x_3$. Tính $$T=(x_1^3+x_1^2+9)(x_2^3+x_2^2+9)(x_3^3+x_3^2+9).$$ b) Cho hai hàm số $y=x^3+x^2-3x-1$, $y=2x^3+2x^2-mx+2$ có đồ thị $(C_1)$, $(C_2)$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(C_1)$ cắt $(C_2)$ tại ba điểm phân biệt có tung độ $y_1$, $y_2$, $y_3$ thoả mãn $$\frac{1}{y_1+4}+ \frac{1}{y_2+4}+ \frac{1}{y_3+4}= \frac{2}{3}.$$
  2. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b+c \geq abc.$ Chứng minh $$a^2+b^2+c^2 \geq abc.$$
  3. Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=x_2=1,\quad x_nx_{n+2}=x_{n+1}^2+3.(-1)^{n-1}.$$ a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy $(x_n)$ đều là số nguyên.
    b) Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_1+x_2+...+x_n}.$
  4. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O),$ trực tâm $H,K$ là trung điểm $BC$ và $G$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AK.D$ đối xứng $G$ qua $BC,I$ đối xứng $C$ qua $D.$ Phân giác $\widehat{ACB}$ cắt $AB$ ở $F,$ phân giác $\widehat{BID}$ cắt $BD$ tại $M$, $MF$ cắt $AC$ tại $E$.
    a) Chứng minh $D \in (O)$.
    b) Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ ở $X$, $XE$ cắt $(EBM)$ tại $Y \neq E$. Chứng minh $(EYD)$ tiếp xúc $(O)$.
  5. Cho $m$, $n$ là các số tự nhiên thoả $4m^3+m=12n^3+n.$ Chứng minh $$\sqrt[3]{m-n} \in \mathbb{Z}.$$

Post A Comment:

0 comments: