Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 10 PTNK TP HCM 2018-2019

  1. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb R\to \mathbb R$ thỏa mãn các điều kiện $$f(-x)=-f(x),\quad f(f(x)-y)=2x+f(f(y)+x),\,\forall x,y\in \mathbb R.$$
  2. Tìm tất cả các bộ số tự nhiên $(a,b,c)$ sao cho các số $a^2+2b+c$, $b^2+2c+a$, $c^2+2a+b$ đều là các số chính phương.
  3. Cho tập hợp $X=\{1,2,…,396\}$. Gọi $S_1,S_2,…,S_k$ là $k$ tập con khác nhau của $X$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
    • $|S_1 |=|S_2 |=\ldots =|S_k |=198$,
    • $|S_i\cap S_j |\leq 99,\,\forall i\ne j,\,i,j\in [1,k]$.
    Chứng minh rằng $k\leq 6^{50}$. (Kí hiệu $|A|$ chỉ số phần tử của tập hợp $A$)
  4. Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường tròn thay đổi qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ tại $D$, $E$. Gọi $H$, $K$ là hình chiếu của $B$ trên $CD$ và $DE$.
    a) Chứng minh $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.
    b) Gọi $Q$ là hình chiếu của $C$ trên $DE$. Đường tròn $(BDK)$ cắt $BC$ tại $M$. Đường tròn $(CEQ)$ cắt $BC$ tại $N$. $KM$, $QN$ cắt nhau tại $X$. Chứng minh $X$ thuộc một đường thẳng cố định.
0 Print

No comments:

Post a Comment

Statictis