Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Quảng Trị 2018-2019

  1. Cho $a=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$.
    a) Chứng minh $a$ là nghiệm của phương trình $a^{2}-2a-4=0$.
    b) Tính giá trị của biểu thức $$T=\dfrac{a^{4}-4a^{3}+a^{2}+6a+4}{a^{2}-2a+12}.$$
  2. a) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}x^{3}+y^{3}&=8 \\ x+y+2xy&=2 \end{cases}.$$ b) Giải phương trình $$(x+1)(x+2)(x+3)^{2}(x+4)(x+5)=360$$
  3. a) Cho $a,b,c$ là các số thực bất kỳ. Chứng minh rằng $$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac.$$ b) Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\geq 1$, $b\geq 1$, $c\geq 1$ và $ab+bc+ac=9$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$$
  4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AC<AB)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $D$ là điểm nằm trên đoạn $AH$ ($D$ khác $A$, $H$). Đường thẳng $BD$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ tại $E$ và $F$ ($F$ nằm giữa $B$ và $D$), $M$ là điểm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\widehat{ACF}=2\widehat{BFM}$, $MF$ cắt $AH$ tại $N$.
    a) Chứng minh $BH\cdot BC=BE\cdot BF$ và tứ giác $EFHC$ nội tiếp.
    b) Chứng minh $HD$ là phân giác góc $\widehat{EHF}$.
    c) Chứng minh $F$ là trung điểm $MN$.
  5. Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $$\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}=\frac{2c}{b+c}.$$ Chứng minh $bc$ là số chính phương.
0 Print

No comments:

Post a Comment

Statictis