Đề Thi Olympic Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2019

  1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3$ là ước của $3^n-1$.
  2. Với $k$ là số nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=k,\quad u_{n+1}=\dfrac{(n+2)u_n-2k+4}{n},\,\forall n \in \mathbb{Z}^+.$$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho trong dãy số $(u_n)$ có đúng $2019$ số hạng là số chính phương.
  3. Cho tam giác $ABC$. Giả sử có điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB$. $PB$, $PC$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AC$ tại $M$. Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$.
    a) Chứng minh rằng số đo góc $\angle MPN$ không đổi khi $D$ thay đổi.
    b) Gọi giao của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $MN$ là $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là phân giác của góc $\angle MPN$.
  4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, $b$, $c$ ta luôn có $$\dfrac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2} \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9}{2}$$
  5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho $$P(x^3+x^2+1)=P(x+2)P(x^2+1)$$
  6. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho $AD$ là đường kính, đồng thời $EA=ED$. Dựng ra ngoài ngũ giác $ABCDE$, tam giác $BCF$ vuông cân tại $F$, và hai hình vuông $ABMN$, $CDPQ$. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm $MQ$ và $OS$. Chứng minh rằng $RT \perp EF$.
  7. Một khu vực quốc tế có $512$ sân bay. Mỗi sân bay đều có thể bay trực tiếp tới ít nhất $5$ sân bay khác. Biết rằng ta có thể đi từ bất kì sân bay nào đến bất kì sân bay khác thông qua một hoặc nhiều chuyến bay trực tiếp. Với mỗi cặp sân bay ta xét tuyến đường ngắn nhất nối giữa chúng, tức là tuyến đường mà nó gồm số lượng ít nhất các đường bay trực tiếp nối giữa hai sân bay này. Hỏi số lượng đường bay trực tiếp lớn nhất có thể có trong một tuyến đường ngắn nhất giữa hai sân bay nào đó là bao nhiêu?.

    No comments