1. Cho hàm số $f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*$ thỏa mãn $$\underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)}(n)\ldots))=\frac{n^2}{f(f(n))},\,\forall n\in\mathbb{N}^*.$$ Tính $f(1000)$.
  2. Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ thỏa mãn $AD^2 + BC^2 = AB^2$. Các đường chéo của $ABCD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $P$ là một điểm trên cạnh $AB$ thỏa mãn $\angle APD = \angle BPC$. Chứng minh $PE$ chia đôi $CD$.
  3. Cho $K$ là tập tất cả các số nguyên dương không chứa chữ số $7$ trong biểu diễn thập phân của nó. Tìm tất cả các đa thức $f$ với hệ số nguyên sao cho $f(n)\in K$ mỗi khi $n\in K$.
  4. Cho số tự nhiên $n$. Có bao nhiêu cách chọn $(n+1)^2$ tập hợp $S_{i,j}\subseteq\{1,2,\ldots,2n\}$, với $0\leq i,j\leq n$, sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời
    • Với mỗi $0\leq i,j\leq n$, $S_{i,j}$ có $i+j$ phần tử;
    • $S_{i,j}\subseteq S_{k,l}$ mỗi khi $0\leq i\leq k\leq n$ và $0\leq j\leq l\leq n$.
  5. Hai số hữu tỷ $\dfrac{m}{n}$ và $\dfrac{n}{m}$ được viết trên bảng, ở đây $m$ và $n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Ở mỗi thời điểm, Evan có thể chọn hai số $x$ và $y$ viết trên bảng và viết lên bảng số $\dfrac{x+y}{2}$ hoặc $\dfrac{2xy}{x+y}$. Tìm tất cả cặp $(m,n)$ sao cho Evan có thể viết số $1$ lên bảng sau hữu hạn bước.
  6. Tìm tất cả các đa thức $P$ với hệ số thực sao cho $$\frac{P(x)}{yz}+\frac{P(y)}{zx}+\frac{P(z)}{xy}=P(x-y)+P(y-z)+P(z-x)$$ với mọi số thực $x,y,z$ khác $0$ thỏa mãn $2xyz=x+y+z$.

Post A Comment:

0 comments: