1. a) Tìm các tham số thực $m$ để phương trình $$x^2 + (3m-4)x + 2m^2-4m=0$$ có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn $9$.
    b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2 + y^2 -xy &= 9 \\ x^4+y^4&=162 \end{cases}.$$ c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử $$x^4-8x^3+26x^2-39x+24.$$
  2. a) Cho $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $$x^2-2702x+1=0.$$ Tính giá tri biểu thức $$M=\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt[3]{x_2}.$$ b) Rút gọn biểu thức $$P=\frac{a\sqrt{a}-8}{a-4}-\frac{2a\sqrt{a}+6a+7\sqrt{a}+6}{a+4\sqrt{a}+4}$$ với $a\le 0$ và $a\ne 4$. Tìm các số tự nhiên $a$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
    c) Giải phương trình $$x^3 = 6(\sqrt[3]{6x-9})-9.$$
  3. a) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3+2019n$ là số chính phương.
    b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2+8&=xy^2+2x \\ y^2+8 & = x^2y+2y \end{cases}.$$
  4. a) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $$\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge 2\left( \frac{a}{c} +\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right) -3.$$ b) Cho $10$ điểm phân biệt nằm bên trong một hình chữ nhật có hai cạnh bằng $18a$ và $24a$ ($a$ là số thực dương). Chứng minh rằng trong $10$ điểm đã cho có không ít hơn hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $10a$.
  5. Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$, đường cao $AH$, ba góc đều nhọn. $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, đường kính $AK$; $(I)$ là đường tròn nội tiếp, tiếp xúc $BC$ tại $D$. $P$, $T$, $F$ là giao điểm với $(O)$ của $AI$, $KI$, $AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $AF$, $BK$. $Q$ là hình chiếu của $E$ lên $AK$.
    a) Chứng minh $A$, $B$, $E$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm nội tiếp của $BFQ$.
    b) Tìm tâm ngoại tiếp của $IBC$. Chứng minh $PB=PJ$, $J$ là tâm bàng tiếp trong góc $A$.
    c) Chứng minh rằng $P$, $D$, $T $ thẳng hàng.
  6. Có bao nhiêu cách sắp $6$ cuốn sách phân biệt vào $3$ ngăn tủ phân biệt sao cho mỗi ngăn có ít nhất một cuốn? (không kể thứ tự các cuốn trong ngăn sách)

Post A Comment:

0 comments: