[Lời Giải và Bình Luận] Đề Thi Toán Quốc Tế IMO 2019

  1. Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)).$$
  2. Cho tam giác $ ABC $, lấy điểm $ A_1 $ nằm trên cạnh $ BC $ và điểm $ B_1 $ nằm trên cạnh $ AC $. Lấy $ P $ và $ Q $ lần lượt là các điểm trên các đoạn $ AA_1 $ và $ BB_1 $, sao cho $ PQ $ song song với $ AB $. Lấy $ P_1 $ là một điểm trên đường $ PB_1 $, sao cho $ B_1 $ nằm giữa $ P $ và $ P_1 $ và $ \angle PP_1C = \angle BAC $. Tương tự, Lấy $ Q_1 $ là điểm trên đường $ QA_1 $, sao cho $ A_1 $ nằm giữa $ Q $ và $ Q_1 $ và $ \angle CQ_1Q = \angle CBA $. Chứng minh rằng các điểm $ P, Q, P_1 $ và $ Q_1 $ cùng nằm trên một đường tròn.
  3. Một mạng xã hội có $ 2019 $ người dùng với một số cặp là bạn bè. Nếu người dùng $ A $ là bạn bè với người dùng $ B $ thì người dùng $ B $ cũng là bạn bè với người dùng $ A $. Các sự kiện thuộc loại sau đây có thể xảy ra lặp đi lặp lại, từng lần một: Ba người dùng $ A $, $ B $ và $ C $ sao cho $ A $ là bạn bè với cả $ B $ và $ C $, nhưng $ B $ và $ C $ không phải là bạn bè, hãy thay đổi trạng thái tình bạn của họ sao cho $ B $ và $ C $ là bạn bè, nhưng $ A $ không còn là bạn với $ B $ và không còn là bạn với $ C $. Tất cả các trạng thái tình bạn khác là không thay đổi. Ban đầu, có $ 1010 $ người dùng mà mỗi người dùng có đúng $ 1009 $ bạn và $ 1009 $ người dùng còn lại mà mỗi người có đúng $ 1010 $ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một chuỗi các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn với nhiều nhất một người dùng khác.
  4. Tìm các số nguyên dương $k$ và $n$ sao cho \[k! = \left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^n} - 2} \right) \ldots \left( {{2^n} - {2^{n - 1}}} \right).\]
  5. Ngân hàng thành phố Bath phát hành các đồng xu với một mặt được in chữ $H$ và một mặt được in chữ $T$. Thầy Tụy có $n$ đồng xu được xếp thành một hàng từ trái qua phải. Thầy Tụy thực hiện liên tiếp các bước biến đổi sau: nếu có đúng $k > 0$ đồng xu với mặt ngửa là $H$, thầy sẽ lật đồng xu thứ $k > 0$k kể từ bên trái; nếu không, tất cả các đồng xu đều có mặt ngửa là $T$ và thầy dừng lại. Ví dụ, nếu $n = 3$ thì quá trình bắ­t đầu với cách xếp THT sẽ là $THT \rightarrow HHT \rightarrow HTT \rightarrow TTT$, và quá trình dừng lại sau ba bước.
    a) Chứng minh rằng, với mỗi cách xếp ban đầu, quá trình sẽ dừng lại sau một số bước hữu hạn.
    b) Với mỗi cách xếp $C$ ban đầu của các đồng xu, gọi $L(C)$ là số các bước biến đổi mà thầy Tụy thực hiện cho đến khi quá trình dừng lại. Ví dụ, $L(THT)=3$ và $L(TTT)=0$. Hãy tính giá trị trung bình của $L(C)$ với $2^{n}$ cách xếp ban đầu có thể của các đồng xu.
  6. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác nhọn $ABC$ với $AB \neq AC$. Đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ tương ứng tại các điểm $D$, $E$ và $F$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $EF$ c­ắt $\omega$ lần thứ hai tại $R$. Đường thẳng $AR$ cắ­t $\omega$ lần thứ hai tại $P$. Đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PCE$ cắ­t đường tròn ngoại tiếp của tam giác $PBF$ lần thứ hai tại $Q$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DI$ và $PQ$ cắ­t nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AI$.

    No comments