1. Cho số nguyên dương $m$. Chứng minh rằng $$\left| \sum_{n=1}^{m}\frac{\mu(n)}{n} \right| \le 1.$$
  2. Cho số nguyên tố lẻ $p$. Chứng minh rằng nếu $g_{1}, \cdots, g_{\varphi(p-1)}$ là các căn nguyên thủy $\pmod{p}$ thì $$\sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}g_{i}\equiv \mu(p-1) \pmod{p}.$$
  3. Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $$\sum_{d|n} a_d = 2^n,\quad \forall n\in\mathbb{N}^*.$$ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, ta có $n|a_n$.
  4. Cho số nguyên dương $m$. Xét dãy số $a_1, a_2, a_3, \ldots$ xác định bởi $a_1 = 1$ và với mỗi $n > 1$, $$a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} a_{\lfloor n/3 \rfloor} \ldots a_{\lfloor n/n \rfloor} 1.$$ Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $$a_n \equiv n \pmod{2^{m}}.$$
  5. Cho $a_1,a_2,...$ là một dãy các số nguyên dương thỏa mãn $(a_m,a_n)=a_{(m,n)}$ với mỗi hai số nguyên dương $m,n$. Chứng minh rằng tồn tại dãy các số nguyên dương $b_1,b_2,...$ sao cho $a_n=\prod_{d|n}{b_d}$ với mọi $n\ge 1$.
  6. Với mỗi số nguyên $n\ge 3$, gọi $\phi_n$ là tập tất cả các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Xét các đa thức $$P_n(x)=\sum_{k\in\phi_n} {x^{k-1}},\quad n=3,4,5,...$$ a) Chứng minh $P_n(x)=(x^{r_n} 1)Q_n(x)$ với một số nguyên dương $r_n$ và một đa thức $Q_n(x)\in\mathbb{Z}[x]$ nào đó
    b) Tìm tất cả $n\ge 3$ sao cho $P_n(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.
  7. Cho số nguyên dương $n$. Giả sử có đúng $M$ số square-free $k$ sao cho $\left\lfloor\frac nk\right\rfloor$ là lẻ trong $\{ 1, 2,\ldots, n\}$. Chứng minh rằng $M$ là lẻ.
  8. Cho $P(x)$ là một đa thức khác hằng với hệ số nguyên. Chứng minh rằng không có hàm $T:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho số các số nguyên $x$ thỏa mãn $T^n(x)=x$ bằng $P(n)$ với mỗi số nguyên dương $n$.

Post A Comment:

0 comments: