Đề Thi Olympic Tháng 4 TP HCM 2018-2019 (Khối 11)

  1. Giải phương trình $$\sin^3 \left( x+ \dfrac{\pi}6 \right) = \sin^2 \left( 2x + \dfrac{11\pi}{12} \right) + \cos^2 \left(x - \dfrac{\pi}{12} \right) - \sin x \sin\left(3x - \dfrac{\pi}6\right).$$
  2. Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị là $(C)$ $$f(x) = \left\{ \begin{matrix} -x-1 & \text{khi} & x < -1 \\ \sqrt{1-x^2} & \text{khi} & -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ x & \text{khi} & x > 1 \end{matrix} \right.$$ Một con kiến đang ở điểm $M(-2;1) \in (C)$ và nó chỉ có thể di chuyển trên $(C)$. Khi $N \in (C)$ là điểm có hoành độ lớn nhất mà kiến có thể tới được. Tính quãng đường kiến di chuyển từ $M$ đến $N$.
  3. Xét phương trình sau với số thực $a \in (0;1)$ $$a \cos\left( (x^2-x+1)\pi \right) = \left( x + \dfrac{1}2\right)^2.$$ Chứng minh rằng phương trình này có ít nhất hai nghiệm âm nhưng không có nghiệm dương nào.
  4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $SB = 6a$ và $SB \perp (ABC)$. Gọi $D$, $E$ là các điểm thuộc các đoạn $SA$, $SC$ sao cho $SD = 2DA$, $SE = EC$.
    a) Tính khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $BDE$ đến $(ABC)$.
    b) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng $(BDE)$, $(SBC)$.​
  5. Cho hình tứ diện đều $ABCD$. Trên mỗi cạnh của tứ diện ta đánh dấu $3$ điểm chia đều cạnh tương ứng thành các phần bằng nhau. Gọi $S$ là tập hợp các tam giác có ba đỉnh lấy từ $18$ điểm đã đánh dấu. Lấy ra từ $S$ một tam giác, tính xác suất để mặt phẳng chứa tam giác đó song song với đúng một cạnh của tứ diện đã cho.

No comments