Tổng Hợp Đề Thi Học Sinh Giỏi Các Trường Và Các Tỉnh Thành 2018-2019

Đại Số

  1. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\right\}$ là một hoán vị của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$. Chứng minh rằng \[\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.\]
  2. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$, với $a,\,b\in\mathbb{R}$. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_0$ sao cho $f(f(x_0))=0$. Chúng minh rằng $a,\,b$ là các số không âm.
  3. [Lạng Sơn] Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)^2} \ge \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right).\]
  4. [Lạng Sơn] Cho đa thức $p(x)$ có hệ số nguyên, bậc là $2$ và hệ số bậc $2$ bằng $1$ thỏa mãn tồn tại đa thức $Q(x) $ có hệ số nguyên sao cho $P(x)$, $Q(x)$ là đa thức có tất cả các hệ số đều là $1,\,-1$. Chứng mimh rằng nếu $P(x) $ có nghiệm thực $x_0$ thì $\left| {{x_0}} \right| < 2$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$.
  5. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các hàng số $C$ sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ thỏa mãn\[P^2(x)-P\left(x^2\right)=Cx^{2018}.\]
  6. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho các số thực $x,\,y,\,z$ không âm thay đổi và thỏa mãn\[\frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}} = 1.\]Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của\[P = xy + yz + zx + x\sqrt {yz} + y\sqrt {zx} + z\sqrt {xy} .\]
  7. [Ninh Bình] Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1$, $P(b)=2$, $P(c)=3$. Chứng minh rằng $a+c=2b$.
  8. [Ninh Bình] Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$. Chứng minh bất đẳng thức\[\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + 4\sqrt 2 \left( {\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right) \ge 9 + 4\sqrt 2 .\]
  9. [Sóc Trăng] Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x+y+z\le 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của\[T = \frac{{\sqrt {{x^2}{y^2} + 1} }}{y} + \frac{{\sqrt {{y^2}{z^2} + 1} }}{z} + \frac{{\sqrt {{z^2}{z^2} + 1} }}{x}.\]
  10. [Hải Phòng] Giải phương trình sau với 2018 dấu phân số\[1 + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{\begin{array}{l} 1 + \\ \quad\ddots \;1 + \dfrac{1}{x}\\ \end{array}}}} = x.\]
  11. [Phú Thọ] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn$$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy),\,\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
  12. [Quảng Bình] Cho $P\left( x \right) = {x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + \ldots + {a_1}x + {a_0}$ là đa thức hệ số thực có $n$ nghiệm thực ($n$ chẵn và các nghiệm không nhất thiết phân biệt). Giả sử $y$ là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực $t$ bé hơn $y$ thì $P(x)> 0$. Chứng minh rằng \[\sqrt[n]{{P\left( 0 \right)}} - \sqrt[n]{{P\left( y \right)}} \ge y.\]
  13. [Quảng Bình] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức \[f(x - y) + f(xy) = f(x) - f(y) + f(x)f(y),\, \forall\,x,\,y\in\mathbb R.\]
  14. [TPHCM] Cho đa thức bậc ba $P(x) = x^3-3x$. Chứng minh rằng tồn tại các số thực $a,b,c$ đôi một phân biệt sao cho $P(a)=b$, $P(b)=c$, $P(c)=a$. Giả sử tồn tại ba bộ số thực $\left( a_i, \,b_i, \,c_i)\right)$ với $\overline {1,{\mkern 1mu} 3} $ gồm $9$ số đôi một phân biệt sao cho $P\left( {{a_i}} \right) = {b_i}$, ${\mkern 1mu} P\left( {{b_i}} \right) = {c_i}$, ${\mkern 1mu} P\left( {{c_i}} \right) = {a_i}$, $\overline {1,{\mkern 1mu} 3}$. Đặt ${S_i} = {a_i} + {b_i} + {c_i}$, $\overline {1,{\mkern 1mu} 3}$. Chứng minh rằng $${S_1}^2 + S_2^2 + S_3^2 \ne {S_1}{S_2} + {S_2}{S_3} + {S_3}{S_1}.$$
  15. [TPHCM] Cho hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn \[{\left( {f\left( {{x^3} + x} \right)} \right)^2} \le f\left( {2x} \right) + 2,{\mkern 1mu} {\left( {f\left( { - 2x} \right)} \right)^3} \ge 3f\left( { - {x^3} - x} \right) + 2,\,\forall x\in\mathbb{R}.\] a) Chứng minh rằng $f(x)$ không phải đơn ánh trên $\mathbb{R}$.
    b) Chứng minh rằng $f(x)\ge -1$, $\forall x \in\mathbb{R}$.
  16. [Ninh Bình] Cho hai dãy số dương và đều là dãy tăng là $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$, biết rằng $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là một cấp số cộng và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ là một cấp số nhân, đồng thời $a_1=b_1,\;a_n=b_n$ với $n>2$, chứng minh rằng\[a_k>b_k\quad\forall\,k=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1.\]
  17. [Ninh Bình] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$, có các hệ số là các số thực không âm. Biết rằng $P(0)=0,\,P(1)=1$ và \[P(x)\ge x^{2018},\,\forall x\ge 0.\]

Hình Học

  1. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ $P$, $Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$, $OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RP$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX} = \widehat{YAC}$.
  2. [Chuyên ĐHSP Hà Nội]Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường trine $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M$, $N$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $BI$ và $CI$ và đường tròn $O$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$, đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$.
    a) Chứng minh rằng tứ giác $EFBQ$ nội tiếp một đường tròn.
    b) Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFBQ$ nằm trên $\Delta$.
  3. [Lạng Sơn] Cho hình chữ nhật $ABCD$, nội tiếp đường tròn $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm các cung nhỏ $BC$, $AD$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $OM$, $ON$. Gọi $K$ là điểm dối xứng với $O$ qua $M$.
    a) Chứng minh răng tứ giác $BJDK$ nội tiếp đường tròn
    b) Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $AB$, $AC$. Chứng minh rằng $AK\bot PQ$.
  4. [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ($I$) nội tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh $AB$, $BC$, $AC$, đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $CI$, $BI$, $AM$ lần lượt tại $X$, $Y$, $N$.
    a) Giả sử $BC$ cố định và $A$ thay đổi trong mặt phẳng sao cho $\widehat{BAC}=\alpha$, $0 < \alpha< 180^\circ$. Chứng minh độ dài đoạn $XY$ không đổi.
    b) Giả sử tam giác $ABC$ không cân. Chứng minh rằng ba điểm $N$, $I$, $D$ thẳng hàng và $\dfrac{{NX}}{{NY}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$.
  5. [Quảng Bình] Cho tam giác $ABC$ nhọn không can ($AB<AC$) có $H$ là trực tâm, nội tiếp đường tròn $(O)$ $BE$, $CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$ $(E\in AC,\,F\in AB )$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$, đường thẳng $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$.
    a) Gọi $T$ trung điểm $BC$. Chứng minh rằng $GH\bot AT$.
    b) Lấy điểm $P$ nào đó trên tia $BC$ ($P$ nằm ngoài đoạn $PC$). Đường tròn $(O)$ cắt $AP$ tại $I$ và cắt đường tròn đường kính $AP$ tại $Q$ ($I,\,Q$ đều khác $A$) $AQ$ cắt $BC$ tại $J$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ luôn đi qua một điểm cố định.
  6. [TPHCM] Cho $AB$ là một dây cố định khác đường kính của đường tròn $(O)$ cố định. Gọi $M$ là trung điểm của cung nhỏ $AB$. Xét đường tròn $\left(O' \right)$ thay đổi tiếp xúc $(O)$ tại một điểm thuộc cung lớn $AB$ ($\left(O' \right)$ khác phía đối với $M$ so với đường thẳng $AB$). Các đường thẳng qua $M$ vuông góc với $O'A$ và $O'B$ cắt $AB$ tại các điểm $C,\,D$.
    a) Chứng minh rằng $AB=2CD$.
    b) Gọi $T$ là một điểm thuộc $O'$ sao cho góc $ATB=90^o$. Giả sử tiếp tuyến của $\left(O' \right)$ tại $T$ cắt đoạn $AB$ tại $N$ và đường thẳng $MN$ cắt $\left(O\right)$ tại $K$ khác $M$. Vẽ đường tròn $M,\,K$ tiếp xúc ngoài với $\left(O' \right)$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định khi $\left(O' \right)$ thay đổi.
  7. [TPHCM] Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(J)$ thay đổi đi qua $B$, $C$ và cắt các đoạn $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$, $E$. Trên đường thẳng $BC$ lấy hai điểm phân biệt $R$, $S$ sao cho $(DER)$ và $(DES)$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$. giả sử $(ADE)$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. Gọi $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$.
    a) Chứng minh rằng đường tròn $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $RSM$.
    b) Chứng minh rằng điểm $O'$ luôn di động trên một đường thẳng cố định khi $(J)$ thay đổi.
  8. [Hà Nội] Cho hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,\,B$. Qua $A$ kẻ hai đường thẳng $A_1$ và $A_2$, đường thẳng $A_1$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $C$ và $D$; đường thẳng $A_2$ cắt hai đường tròn $(O)$ và $\left( {O'} \right)$ lần lượt tại $E$ và $F$ ($C,\,D,\,E,\,F$ khác $A$). Các đường trung trực $CD$ và $EF$ cắt nhau tại $K$. Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $K$ cắt đường tròn $\left( {O'} \right)$ tại $P$, $Q$. Chứng minh rằng trực tâm tam giác $APQ$ luôn nằm trên một đường tròn cố định. 

Số Học

  1. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Cho các số nguyên $m$, $n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^2-x$ với $x=1,\,2,\,\ldots n$ không có hai số nào cùng số dư khi chia $m$. Chứng minh rằng
    a) $m\ge 2n-1$,
    b) $m=2n-1$ thì $m$ là số nguyên tố lẻ. 
  2. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Với mỗi số nguyên $n>1$ ta gọi một hoán vị $\left\{a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n\right\}$ của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ là tốt nếu \[\left| {{a_1} - 1} \right| = \left| {{a_2} - 2} \right| = \ldots = \left| {{a_n} - n} \right| \ne 0.\] Chứng minh rằng
    a) Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.
    b) Nếu $n$ chẵn thì số các hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\dfrac{n}{2}$.
  3. [Chuyên ĐHSP Hà Nội] Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a$, $b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số khác là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,\,b$ hỏi ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không?. Vì sao?.
  4. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm các cặp số nguyên dương $(p,\,n)$ với $p$ là số nguyên tố, sao cho tổng của tất cả các ước số nguyên dương của $p^{2^n-1}$ là một số chính phương
  5. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ bởi công thức truy hồi $$a_1=0,\,a_2=3,\quad a_{n+2}=7a_{n+1}-a_n+3,\,\forall n\in\mathbb Z^+.$$ Chứng minh rằng $2027\nmid\left( 5+a_n\right)$ với mọi $n\in\mathbb Z^+$.
  6. [Ninh Bình] Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1$, $P(b)=2$, $P(c)=3$. Chứng minh rằng $a+c=2b$.
  7. [Ninh Bình] Với số $n$ nguyên dương đặt $f(n)$ là số ước nguyên dương của $n$. Gọi $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$ và xét tập hợp $$G=\left \{ n\in \mathbb{N}^*: f(m)<f(n),\; \forall\,m\in \mathbb{N},0<m<n \right \}.$$ a) Chứng minh rằng nếu $n$ thuộc $G$ và $p_m$ là ước nguyên tố của $n$ thì $p_1p_2...p_m$ là ước của $n$.
    b) Với số nguyên tố $p_m$, gọi $k$, $M$ là các số nguyên dương thỏa mãn $2^k>p_m$ và $M=\left(p_1p_2...p_{m-1}\right)^{2k}$. Chứng minh rằng nếu $n>M$ và $n$ thuộc $G$ thì $n$ chia hết cho $p_m$.
  8. [Sóc Trăng] Cho hai dãy số $\left\{a_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ và $\left\{b_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ có công thức số hạng tổng quát như sau\[\begin{array}{l} {a_n} &=& 6{n^3} + 103{n^2} + 96n + 5,\, \forall n \in \mathbb Z^+,\\ {b_n} &=& 3{n^2} + 2n + 15,\, \forall n \in \mathbb Z^+. \end{array}\] Đặt $x_n$ là ước chung lớn nhất của $a_n$ và $b_n$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $x_{n+k}=x_n\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+$ và tìm một giá trị của $k$ thỏa điều đó.
  9. [Phú Thọ] Cho dãy số thực $(a_n)_{n\ge 1}$ xác định bởi $$a_1=a_2=1,\,a_3=2,\quad a_{n+3}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}+7}{a_n},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng $a_n$ là số nguyên, với mọi số nguyên dương $n$.
  10. [Phú Thọ] Chứng minh rằng
    a) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp là hợp số.
    b) Tồn tại $2018$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2$ số nguyên tố.
  11. [Phú Thọ] Cho dãy số thực $(x_n)_{n\ge 0}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $x_n=0$ khi và chỉ khi $n=0$, $${x_{n + 1}} = x_{\left\lfloor {\frac{{n + 3}}{2}} \right\rfloor }^2 + {( - 1)^n}x_{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor }^2,\,\forall n\ge 0.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, nếu $x_n$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố hoặc $n$ không có ước nguyên tố lẻ.
  12. [PTNK] Cho số tự nhiên $p$, xét phương trình nghiệm nguyên $$x^3+x+p=y^2.$$ a) Tìm số nguyên tố $p=4k+1$ nhỏ nhất sao cho phương trình có nghiệm.
    b) Chứng minh rằng nếu $p$ là số chính phương thì phương trình luôn có nghiệm $x\ne 0$.
  13. [Quảng Bình] Cho $2018$ số nguyên dương ${a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} {a_3},{\mkern 1mu} \ldots ,{a_{2018}}$ và số nguyên $a>1$ sao cho ${a_1}.{a_2}.{a_3}. \ldots {a_{2018}}\mid a$. Chứng minh rằng $a^{2109}+a-1$ không là bội của $$\left( {a + {a_1} - 1} \right).\left( {a + {a_2} - 1} \right){\mkern 1mu} \ldots \left( {a + {a_{2018}} - 1} \right).$$
  14. [Đà Nẵng] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương n được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, có bậc bằng $p$ và hệ số bậc cao nhất bằng 1 sao cho $n$ là ước số của $P(k)$ với mọi số nguyên $k$. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu". Chứng minh rằng
    a) $p$ là số tốt,
    b) $p^2$ là số xấu.
  15. [Đà Nẵng] Dãy $\left\{a_n\right\}_{n \in \mathbb{Z^+}}$ được gọi là một "cấp số cộng hai phía" nếu với mọi số nguyên n thì $a_{n+1}-a_n = d$ là hằng số ( $d$ được gọi là công sai của dãy). Kí hiệu $M$ là tập tất cả các cấp số cộng hai phía với các số hạng nguyên và công sai lớn hơn 1.
    a) Chứng minh rằng tồn tại 5 cấp số cộng thuộc $M$ có công sai đôi một khác nhau, sao cho mỗi số nguyên bất kì đều là phần tử của một trong các cấp số cộng đó.
    Cho $m$ ($m \in \mathbb{N}, m\geq 2$) cấp số cộng thuộc $M$, sao cho các công sai của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên không phải là phần tử của bất kì cấp số cộng nào trong m cấp số cộng đó.
  16. [Hưng Yên] Cho các số nguyên dương $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_{2018}$, xét tập\[S_{2018} = \left\{ {{{\left( { - 1} \right)}^{{k_1}}}\sqrt {{a_1}} + {{\left( { - 1} \right)}^{{k_2}}}\sqrt {{a_2}} + \ldots + {{\left( { - 1} \right)}^{{k_{2018}}}}\sqrt {{a_{2018}}} :\;{k_i} \in \mathbb Z^+} \right\}.\]Chứng minh rằng, tích các phần tử của $S_{2018}$ là một số chính phương.
  17. [Hưng Yên] Cho đa giác lồi $P$. Bạn An muốn ghi vào mỗi đỉnh của $P$ một số nguyên dương, sao cho các điều kiện sau đây được đồng thời thỏa mãn: trong các số được ghi có ít nhất một số chẵn; và tổng ba số ghi trên ba đỉnh liên tiếp là một số lẻ. Chứng minh rằng bạn An có thể thực hiện được việc ghi số khi và chỉ khi số đỉnh của $P$ là bội của 3.
  18. [Đồng Nai] Tìm số nguyên tố $p$ sao cho phương trình nghiệm nguyên sau có nghiệm\[4x^2+12xy+13y^2=p.\]
  19. [Hà Nam] Cho $k$ là số nguyên dương, chứng minh rằng $\left(4k^2-1\right)^2$ có ước nguyên dương dạng $12kn -1$ (với $n$ là số nguyên dương) khi và chỉ khi $k$ chia hết cho 3.
  20. [TPHCM] Gọi $S$ là tập hợp các hoán vị của 164 số nguyên dương đầu tiên.
    a) Có bao nhiêu hoán vị $\left(a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_{164}\right)\in S$ thỏa mãn $$a_i\ne i,\,\forall i=\overline{1,\,164};\quad a_i\equiv i\pmod{41},\,\forall i=\overline{1,\,164}.$$ b) Tồn tại hay không một hoán vị $\left(a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_{164}\right)\in S$ thỏa mãn với mỗi $i\in\{1,\,2,\,\ldots ,\,164\}$ luôn tồn tại $b_i\in\{0,\,1,\,\ldots ,\,40\}$ sao cho $$a_1+a_2+\ldots+a_i\equiv b_i^2\pmod{41}.$$
  21. [TPHCM] Trên mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy$. Hai điểm nguyên $A,\,B$ được gọi là "thân thiết" với nhau nếu $A$, $B$ khác $O$ và $ - 1 \le \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \le 1$ với $O$ là gốc tọa độ.
    a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên $M(x,\,y)$ với $\left| x \right| \le 19,{\mkern 1mu} y \le 19$ thỏa mãn điểm $M$ và điểm $N\left( {3,{\mkern 1mu} 7} \right)$ "thân thiết" với nhau?.
    b) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên đôi một thân thiết với nhau?
  22. [Hà Nội] Gọi $d_1,\,d_2,\,\ldots,d_k$ là các ước nguyên dương của $n$ được xếp theo thứ tự tăng dần. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau\[ \begin{cases}{d_s} - {d_j} &= 40,\\7{d_s} + 8{d_j} &= 3n.\end{cases} \]
  23. [Hà Nội] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$ trong đó $a,\,b,\,c$là những số nguyên và $p$ là số nguyên tố. Biết rằng $P(x)$ có ba nghiệm nguyên $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)$ không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $abc+ac$ chia hết cho $p^3.$ 
  24. [Hà Nội] Xét các số hứu tỉ dương $x_1,\,x_2,\,\ldots,\, x_n$ thỏa mãn $${x_1} + \dfrac{1}{p_1},\,{x_2} + \dfrac{1}{{{p_2}}},\, \ldots, \,{x_n} + \dfrac{1}{p_n}$$ là các số nguyên dương, với ${p_i} = \dfrac{{{x_1}{x_2} \ldots {x_n}}}{{{x_i}}}$, $\forall i=\overline{1,\,n}$.
    a) Chứng minh rằng $x_1x_2\ldots x_n=1.$
    b) Có bao nhiêu bộ số $\left(x_1,\,x_2,\,\ldots,\, x_n\right)$ thỏa mãn đề bài.
  25. [Bắc Ninh] Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$, biết rằng\[n\mid P\left(2^n\right),\,\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]
  26. [Ninh Bình] Một số nguyên dương $a$ gọi "đẹp" nếu tồn tại số nguyên dương $b$ thỏa mãn $a^5+b^7$ chia hết cho $2018$. Tìm số các số đẹp không lớn hơn 2018.

No comments